Dalam bahasan kali ini, kita akan membahas mengenai pembagian suku banyak. Dalam hal ini, pembagian suku banyak yang akan dibahas kita batasi dari segi pembaginya yaitu, pembagian suku banyak dengan (x – k), (ax + b), dan (ax2 + bx + c)
f(x) = P(x) H(x) + S
atau
f(x) = (x – k) H(x) + S
Dimana f(x) merupakan suku banyak, (x – k) adalah pembaginya, H(x) adalah hasil baginya, dan S merupakan sisa pembagiannya. Oleh karena pembagi P(x) = x – k berderajat satu, maka sisa S maksimum berderajat nol atau berupa suatu konstanta yang tidak memuat variabel. Dari bentuk di atas kita akan mendapatkan Teorema Sisa 1 berikut
Teorema Sisa 1
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah S = f(k)
Bukti:
f(x) = (x – k) H(x) + S
f(k) = (k – k) H(x) + S
f(k) = 0 H(x) + S
f(k) = S
Jadi, terbukti S = f(k)
Dengan kata lain kita akan mendapatkan sisa dari suatu pembagian f(x) dengan pembagi (x – k) dengan mensubstitusi k ke suku banyak f(x)
Untuk menentukan hasil bagi dan sekaligus sisa pembagian dari suatu suku banyak kita dapat menggunakan dua cara yaitu cara pembagian biasa (cara bersusun) dan cara bagan atau horner/skema. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut
Contoh 1
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika:
x3 + 7x2 + 4 dibagi (x – 2)
Penyelesaian:
Cara Biasa
Jadi, hasil baginya H(x) = x2 + 9x + 18 dan sisa S = 40
Cara Skema/Horner
Pembagian dengan (x – k)
Jika pembagi suatu suku banyak/polinomial adalah (x – k), maka persamaan pembagian dapat dituliskan sebagai berikutf(x) = P(x) H(x) + S
atau
f(x) = (x – k) H(x) + S
Dimana f(x) merupakan suku banyak, (x – k) adalah pembaginya, H(x) adalah hasil baginya, dan S merupakan sisa pembagiannya. Oleh karena pembagi P(x) = x – k berderajat satu, maka sisa S maksimum berderajat nol atau berupa suatu konstanta yang tidak memuat variabel. Dari bentuk di atas kita akan mendapatkan Teorema Sisa 1 berikut
Teorema Sisa 1
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah S = f(k)
Bukti:
f(x) = (x – k) H(x) + S
f(k) = (k – k) H(x) + S
f(k) = 0 H(x) + S
f(k) = S
Jadi, terbukti S = f(k)
Dengan kata lain kita akan mendapatkan sisa dari suatu pembagian f(x) dengan pembagi (x – k) dengan mensubstitusi k ke suku banyak f(x)
Untuk menentukan hasil bagi dan sekaligus sisa pembagian dari suatu suku banyak kita dapat menggunakan dua cara yaitu cara pembagian biasa (cara bersusun) dan cara bagan atau horner/skema. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut
Contoh 1
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika:
x3 + 7x2 + 4 dibagi (x – 2)
Penyelesaian:
Cara Biasa
Jadi, hasil baginya H(x) = x2 + 9x + 18 dan sisa S = 40
Cara Skema/Horner
Jadi, hasil baginya H(x) = x2 + 9x + 18 dan sisa S = 40
Dengan menggunakan Teorema Sisa 1, kita juga dapat menentukan sisa pembagiannya yaitu:
S = f(x)
S = f(2)
= (2)3 + 7(2)2 + 4
= 8 + 28 + 4
= 40
Pembagian dengan (ax + b)
Pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b), dapat dinyatakan sebagai berikut
Nilai S (sisa) dapat dinyatakan dengan Teorema Sisa 2 berikut
Teorema Sisa 2
Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah S = f ( -b/a )
Cara pembuktiannya hampir sama dengan Teorema Sisa 1.
Untuk lebih memahami pembagian suku banyak dengan (ax + b), perhatikan contoh berikut
Contoh 2
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika 6x3 - 2x2 – x + 7 dibagi (3x + 2)
Penyelesaian:
Untuk menyelesaiakan soal di atas akan digunakan dengan cara horner, untuk cara biasa silahkan anda coba sendiri
Dari cara horner di atas diperoleh H(x) = 6x2 – 6x + 3, sehingga hasil baginya
dan sisa pembagiannya adalah 5
Pembagian dengan (ax2 + bx + c)
Pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan cara biasa apabila ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika ax2 + bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Dari pembagian dengan ax2 + bx + c ini diperoleh Teorema Sisa 3 yaitu
Teorema Sisa 3
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah S = px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q
Dalam hal ini, akan dibahas mengenai pembagian dengan cara biasa saja, karena lebih mudah digunakan dan berikut adalah contohnya
Contoh 3
Tentukanlah hasi bagi dan sisanya, jika 4x3 + x2 + 2x – 5 dibagi (x2 + 2x – 3)
Penyelesaian
Jadi, hasil baginya 4x - 7 dan sisanya adalah 28x - 26
Berikut ini adalah contoh soal lainnya yang berkaitan dengan pembagian suku banyak, yang mungkin akan menambah pemahaman anda mengenai pembagian suku banyak
Contoh 4
Tentukan nilai a sehingga 2x3 + x2 – 13x + a habis dibagi (x – 2), kemudian tentukan hasil baginya
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan soal di atas kita dapat menggunakan Teorema Sisa 1. Karena 2x3 + x2 – 13x + a habis dibagi (x – 2) maka sisanya 0. Kita substitusikan x = 2 pada suku banyak
f(x) = S
f(2) = 0
2(2)3 + 22 – 13(2) + a = 0
16 + 4 - 26 + a = 0
-6 + a = 0
a = 6
Sehingga, suku banyak menjadi 2x3 + x2 – 13x + 6. Untuk menentukan hasil baginya kita dapat menggunakan cara Horner
Jadi, nilai a adalah 6 dan hasil baginya adalah 2x2 + 5x – 3
Contoh 5
Tentukanlah nilai a dan b, jika x3 + ax + b habis dibagi (x2 + x + 1)
Penyelesaian
Karena x3 + ax + b habis dibagi (x2 + x + 1) maka sisanya adalah 0. Dengan menggunakan pembagian cara biasa diperoleh
Dari, bentuk di atas diperoleh
ax + x = -x
(a + 1)x = -x
a + 1 = -1
a = -2
dan
b = -1
Jadi, nilai a = -2 dan b = -1
Sekian dan semoga bermanfaat
