Limit fungsi adalah materi penting sebelum mempelajari Turunan dan Integral. Kata limit dapat dianalogikan pengertiannya seperti kata-kata mendekati, hampir saja, ataupun sdikit lagi. Dalam matematika, misalkan x adalah variabel real dan a adalah konstanta real. Jika variabel x mendekati nilai a, maka proses pendekatan ke nilai a dapat dipandang dari dua arah yaitu dari kiri ataupun dari kanan. Untuk x mendekati a dari arah kiri, ditulis $x \rightarrow a^{-}$ dan jika dari arah kanan ditulis $x \rightarrow a^{+}$
Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh limit fungsi berikut. Misalkan fungsi f(x) = x + 1 didefinisikan untuk semua x bilangan real. Jika x mendekati 2, berapakah nilai f(x)?
Nilai f(x) dapat ditentukan dengan menghitungnya untuk nilai-nilai x yang mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan. Hal ini dapat dilihat dalam tabel berikut.
Dengan demikian, nilai f(x) mendekati 3 baik dari kiri maupun kanan. Dengan menggunakan lambang matematika, dapat dituliskan dengan
Contoh 5
Hitunglah nilai $\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}= \lim_{x \to 3}\frac{(x + 2)(x - 3)}{x - 3}$
$=\lim_{x \to 3}(x + 2)$
$=(3 + 2)$
$=5$
Untuk menyatakan keadaan yang tidak dapat ditentukan besar nilainya, digunakan lambang $\infty$ (dibaca tak hingga). Apabila limit ini dikerjakan secara langsung, maka akan menghasilkan bentuk tak tentu seperti $\frac{\infty}{\infty}$ dan $(\infty - \infty)$. Untuk menentukan nilai limit yang mendekati tak hingga ini dapat dilakukan dengan cara berikut
1. Membagi dengan Pangkat Tertinggi
Sebelumnya harus diketahui terlebih dahulu jika
$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^n} = 0$
Bentuk $\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$, biasanya memiliki pangkat tertinggi n baik itu dari f(x) maupun g(x). Untuk menyelesaikan limit demikian, kita harus membagi setiapsuku dari setiap fungsi dengan $x^n$. Nah, untuk lebih jelasnya sekarang akan disajikan contoh soal dan pembahasan limit tak hingga
Contoh 6
Hitunglah nilai limit tak hingga $\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 8}$
Penyelesaian
Dari soal terlihat jika variabel memiliki pangkat tertinggi 2, untuk itu kita harus membagi setiap suku baik pembilang dan penyebut dengan $x^2$
$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 8} = \lim_{x \to \infty}\frac{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} - \frac{8}{x^2}}$
Contoh 7
Hitunglah nilai limit tak hingga $\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 + 1}{x^3 - 8}$
Penyelesaian
Dari soal terlihat jika variabel memiliki pangkat tertinggi 3, untuk itu kita harus membagi setiap suku baik pembilang dan penyebut dengan $x^3$
$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 + 1}{x^3 - 8} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{8}{x^3}}$
$=\frac{0 + 0}{1 -0}$
$=0$
2. Mengalikan dengan Faktor Lawanya
Cara ini hampir sama dengan merasionalkan pecahan dengan penyebut bentuk akar yaitu dengan mengalikan bentuk sekawanya. Meski telah menggunakan cara yang kedua ini, kadang kala kita juga harus tetap menggunakan cara membagi dengan pangkat tertnggi untuk langkah lanjutannya. Untuk lebih jelasnya berikut ini adalah contoh soal beserta pembahasan penyelesaian limit tak hingga denga cara mengalikan dengan faktor lawanya
Contoh 8
Hitunglah nilai limit tak hingga $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+ 2}- \sqrt{x + 1})$
Penyelesaian
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+ 2}- \sqrt{x + 1}) $ $=\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+ 2}- \sqrt{x + 1}) \times \frac{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{(x+ 2)- (x + 1)}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$ (bentuk terakhir setiap sukunya akan dibagi dengan $\sqrt{x}$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+ \frac{2}{x}}+ \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}$
$=\frac{0}{\sqrt{1+ 0}+ \sqrt{1 + 0}}$
$=0$
Contoh 9
Hitunglah nilai limit tak hingga $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^+ 3x}- \sqrt{x^2 - x})$
Penyelesaian
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^+ 3x}- \sqrt{x^2 - x})$ $=\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^+ 3x}- \sqrt{x^2 - x})\times \frac{\sqrt{x^+ 3x}+ \sqrt{x^2 - x}}{\sqrt{x^+ 3x}+ \sqrt{x^2 - x}}$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{(x^+ 3x)- (x^2 - x)}{\sqrt{x^+ 3x}+ \sqrt{x^2 - x}}$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{4x}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$ (bentuk terakhir setiap sukunya akan dibagi dengan $x$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{4}{\sqrt{1+ \frac{3}{x}}+ \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}$
$=\frac{4}{\sqrt{1+ 0}+ \sqrt{1 - 0}}$
$=2$
Demikianlah mengenai menentukan nilai limit fungsi dan limit tak hingga, dalam artikel selanjutnya akan dibahas mengenai limit fungsi trigonometri. Semog bermanfaat.
Nilai f(x) dapat ditentukan dengan menghitungnya untuk nilai-nilai x yang mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan. Hal ini dapat dilihat dalam tabel berikut.
$\lim_{x \to 2} (x + 1) = 3$
Berdasarkan uraian di atas limit dapat didefinisikan sebagai berikut
$\lim_{x \to a} f(x) = L$ dapat diartikan bahwa jika x mendekati a (tetapi x $\neq$ a), maka f(x) mendekati nilai L.
Menentukan Nilai Limit Fungsi
Pengerjaan suatu limit dapat dilakukan dengan dua cara yaitu substitusi langsung atau dengan cara memfaktorkan terlebih dahulu. Pengerjaan dengan cara memfaktorkan dilakukan apabila setelah dikerjakan dengan substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu ($\farc{0}{0}). Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh soal berikut yang telah disertai dengan pembahasannya
Contoh 1
Hitunglah nilai $\lim_{x \to 2} (3x - 1)$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 3(2) - 1$ $ = 5$
Contoh 2
Hitunglah nilai $\lim_{x \to 2}\sqrt{10-x}$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 1}\sqrt{10-x} = \sqrt{10 - 1}$ $= 3$
Contoh 3
Hitunglah nilai $\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = \frac{2^2 - 1}{2^2 + 1}$ $ = \frac{3}{5}$
Tiga soal di atas dapat dikerjakan dengan cara substitusi langsung. Untuk pengerjaan limit dengan cara memfaktorkan, kita harus jeli melihat bentuk-bentuk aljabar yang dapat difaktorkan dan langkah selanjutnya yaitu menyederhanakanya. Berikut ini akan disajikan contoh soal beserta pembahasan limit dengan cara memfaktorkan
Contoh 4
Hitunglah nilai $\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}= \lim_{x \to 2}\frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}$
$=\lim_{x \to 2}(x + 2)$
$=(2 + 2)$
$=4$
Hitunglah nilai $\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}= \lim_{x \to 3}\frac{(x + 2)(x - 3)}{x - 3}$
$=\lim_{x \to 3}(x + 2)$
$=(3 + 2)$
$=5$
Limit Tak Hingga
Untuk menyatakan keadaan yang tidak dapat ditentukan besar nilainya, digunakan lambang $\infty$ (dibaca tak hingga). Apabila limit ini dikerjakan secara langsung, maka akan menghasilkan bentuk tak tentu seperti $\frac{\infty}{\infty}$ dan $(\infty - \infty)$. Untuk menentukan nilai limit yang mendekati tak hingga ini dapat dilakukan dengan cara berikut1. Membagi dengan Pangkat Tertinggi
Sebelumnya harus diketahui terlebih dahulu jika
$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^n} = 0$
Bentuk $\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$, biasanya memiliki pangkat tertinggi n baik itu dari f(x) maupun g(x). Untuk menyelesaikan limit demikian, kita harus membagi setiapsuku dari setiap fungsi dengan $x^n$. Nah, untuk lebih jelasnya sekarang akan disajikan contoh soal dan pembahasan limit tak hingga
Contoh 6
Hitunglah nilai limit tak hingga $\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 8}$
Penyelesaian
Dari soal terlihat jika variabel memiliki pangkat tertinggi 2, untuk itu kita harus membagi setiap suku baik pembilang dan penyebut dengan $x^2$
$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 8} = \lim_{x \to \infty}\frac{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} - \frac{8}{x^2}}$
$=\frac{2 - 0 + 0}{1 + 0 -0}$
$=2$
Hitunglah nilai limit tak hingga $\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 + 1}{x^3 - 8}$
Penyelesaian
Dari soal terlihat jika variabel memiliki pangkat tertinggi 3, untuk itu kita harus membagi setiap suku baik pembilang dan penyebut dengan $x^3$
$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 + 1}{x^3 - 8} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{8}{x^3}}$
$=\frac{0 + 0}{1 -0}$
$=0$
2. Mengalikan dengan Faktor Lawanya
Cara ini hampir sama dengan merasionalkan pecahan dengan penyebut bentuk akar yaitu dengan mengalikan bentuk sekawanya. Meski telah menggunakan cara yang kedua ini, kadang kala kita juga harus tetap menggunakan cara membagi dengan pangkat tertnggi untuk langkah lanjutannya. Untuk lebih jelasnya berikut ini adalah contoh soal beserta pembahasan penyelesaian limit tak hingga denga cara mengalikan dengan faktor lawanya
Contoh 8
Hitunglah nilai limit tak hingga $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+ 2}- \sqrt{x + 1})$
Penyelesaian
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+ 2}- \sqrt{x + 1}) $ $=\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+ 2}- \sqrt{x + 1}) \times \frac{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{(x+ 2)- (x + 1)}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$ (bentuk terakhir setiap sukunya akan dibagi dengan $\sqrt{x}$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+ \frac{2}{x}}+ \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}$
$=\frac{0}{\sqrt{1+ 0}+ \sqrt{1 + 0}}$
$=0$
Contoh 9
Hitunglah nilai limit tak hingga $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^+ 3x}- \sqrt{x^2 - x})$
Penyelesaian
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^+ 3x}- \sqrt{x^2 - x})$ $=\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^+ 3x}- \sqrt{x^2 - x})\times \frac{\sqrt{x^+ 3x}+ \sqrt{x^2 - x}}{\sqrt{x^+ 3x}+ \sqrt{x^2 - x}}$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{(x^+ 3x)- (x^2 - x)}{\sqrt{x^+ 3x}+ \sqrt{x^2 - x}}$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{4x}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$ (bentuk terakhir setiap sukunya akan dibagi dengan $x$
$=\lim_{x \to \infty}\frac{4}{\sqrt{1+ \frac{3}{x}}+ \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}$
$=\frac{4}{\sqrt{1+ 0}+ \sqrt{1 - 0}}$
$=2$
Demikianlah mengenai menentukan nilai limit fungsi dan limit tak hingga, dalam artikel selanjutnya akan dibahas mengenai limit fungsi trigonometri. Semog bermanfaat.
