Jika anda telah memahami materi limit fungsi beserta cara menentukan nilai limit fungsi, baik itu limit aljabar ataupun limit tak hingga. Selanjutnya, materi yang masih ada kaitanya dengan materi tersebut adalah limit fungsi trigonometri. Limit fungsi trigonometri ditandai dengan fungsi dari limit yang merupakan fungsi terigonometri. Berikut adalah beberapa contoh limit fungsi terigonometri.
$lim_{x \to \pi} cos 3x$
$lim_{x \to 0} \frac{sin 2x}{x}$
dan masih banyak lagi contoh yang lainnya. Untuk menentukan nilai suatu limit fungsi trigonometri caranya hampir sama dengan perhitungan limit fungsi aljabar. Dalam beberapa kasus kita dapat menggunakan dengan cara substitusi langsung. Berikut adalah contoh soal beserta pembahasanya
Contoh 1
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to 0} cos^2 x$!
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} cos^2 x = cos^2 (0) $ $ = 1^2 = 1$
Contoh 2
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to \frac{\pi}{2}} sin(2x - \pi)$!
Penyelesaian
$lim_{x \to \frac{\pi}{2}} sin(2x - \pi) = sin (2 \frac{\pi}{2} - \pi)$ $= sin(\pi - \pi)$ $= sin (0)$ $ = 0$
Bagaimana jika ditemukan bentuk limit fungsi trigonometri yang mengahasilkan bentuk tak tentu $(\frac{0}{0})$? Maka, kita dapat menyederhanakan fungsi trigonometri tersebut terlebih dahulu dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada trigonometri. Untuk lebih jelasnya, berikut ini adalah beberapa contoh soal beserta uraiannya
Contoh 3
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{sin 2x}$!
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} \frac{sin x}{sin 2x}$, jika disubstikan langsung maka akan didapat bentuk tak tentu, untuk itu kita harus menyederhanakan terlebih dahulu fungsi trigonometrinya
$lim_{x \to 0} \frac{sin x}{sin 2x} $ $ = lim_{x \to 0} \frac{sin x}{2sin x cos x}$
$ = lim_{x \to 0} \frac{1}{2cos x}$
$ = \frac{1}{2cos (0)}$
$ = \frac{1}{2(1)}$
$ = \frac{1}{2}$
Contoh 4
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos 2x}{sin x}$!
Penyelesaian
Soal di atas, juga akan berakhir pada bentuk tak tentu apabila menggunakan cara substitusi langsung. Maka sebaiknya diselesaikan dengan cara berikut
$lim_{x \to 0} \frac{1 - cos 2x}{sin x}$ $ = lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2sin^2 x)}{sin x}$
$ = lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2sin^2 x)}{sin x}$
$ = lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 x)}{sin x}$
$ = lim_{x \to 0} 2sin x$
$ = 2sin (0)$
$ = 2(0)$
$ = 0$
$lim_{x \to 0} \frac{sin u}{u} = lim_{x \to 0} \frac{u}{sin u} = 1$
$lim_{x \to 0} \frac{tan u}{u} = lim_{x \to 0} \frac{u}{tan u} = 1$
Pada penerapanya, dalam banyak kasus kita tetap saja perlu menggunakan sifat-sifat/teorema trigonometri guna memudahkan menyelesaikan suatu soal. Agar lebih memahaminya, berikut ini beberapa contoh soal yang dilengkapi penyelesaiannya
Contoh 5
Tentukan nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{4x}$
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{4x} = lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{4x} \times \frac{3}{3}$
$ = \frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{3x}$
$ = \frac{3}{4} (1)$
$ = \frac{3}{4}$
Contoh 6
Tentukan nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{tan x}$
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{tan x} = lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{tan x} \times \frac{5x}{5x}$
$ = \frac{5}{1} lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{5x} \times \frac{x}{tan x}$
$ =5 lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{5x} \times lim_{x \to 0} \frac{x}{tan x}$
$ =5 (1) (1)$
$ = 5$
Contoh 7
Tentukan nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2}$
Penyelesaian
Karena $cos 2x = 1 - 2sin^2 x$, maka $cos 2x = 1 - 2sin^2 \frac{1}{2}x$
$lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2} = lim_{x \to 0} \frac{1 - (1- 2sin^2 \frac{1}{2}x)}{x^2}$
$ = lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 \frac{1}{2}x}{x^2}$
$ = lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 \frac{1}{2}x}{x^2} \times \frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{2})^2}$
$ = (\frac{1}{2})^2 lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 \frac{1}{2}x}{(\frac{1}{2}x)^2}$
$ = \frac{1}{4} (lim_{x \to 0} \frac{2sin \frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x})^2$
$ = \frac{1}{4} (1)^2$
$ = \frac{1}{4}$
Contoh 8
Tentukan nilai limit $lim_{x \to a} \frac{cos x - cos a}{x - a}$
Penyelesaian
Bentuk $cos x - cos a = -2 sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x - a)$ (rumus pengurangan cosinus)
$lim_{x \to a} \frac{cos x - cos a}{x - a} = lim_{x \to a} \frac{-2 sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x + a)}{x - a}$
$ = lim_{x \to a} \frac{-2 sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x - a)}{x - a} \times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$
$ = (-2) (\frac{1}{2}) lim_{x \to a} \frac{ sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x - a)}{\frac{1}{2}(x - a)}$
$ = - lim_{x \to a} sin \frac{1}{2}(x + a) (1)$
$ = - sin \frac{1}{2}(a + a) $
$ = - sin a$
Demikianlah tadi mengenai limit fungsi trigonometri yang disertai 8 contoh soal dan pembahasannya, semoga bermanfaat.
$lim_{x \to 0} \frac{sin 2x}{x}$
dan masih banyak lagi contoh yang lainnya. Untuk menentukan nilai suatu limit fungsi trigonometri caranya hampir sama dengan perhitungan limit fungsi aljabar. Dalam beberapa kasus kita dapat menggunakan dengan cara substitusi langsung. Berikut adalah contoh soal beserta pembahasanya
Contoh 1
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to 0} cos^2 x$!
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} cos^2 x = cos^2 (0) $ $ = 1^2 = 1$
Contoh 2
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to \frac{\pi}{2}} sin(2x - \pi)$!
Penyelesaian
$lim_{x \to \frac{\pi}{2}} sin(2x - \pi) = sin (2 \frac{\pi}{2} - \pi)$ $= sin(\pi - \pi)$ $= sin (0)$ $ = 0$
Bagaimana jika ditemukan bentuk limit fungsi trigonometri yang mengahasilkan bentuk tak tentu $(\frac{0}{0})$? Maka, kita dapat menyederhanakan fungsi trigonometri tersebut terlebih dahulu dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada trigonometri. Untuk lebih jelasnya, berikut ini adalah beberapa contoh soal beserta uraiannya
Contoh 3
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{sin 2x}$!
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} \frac{sin x}{sin 2x}$, jika disubstikan langsung maka akan didapat bentuk tak tentu, untuk itu kita harus menyederhanakan terlebih dahulu fungsi trigonometrinya
$lim_{x \to 0} \frac{sin x}{sin 2x} $ $ = lim_{x \to 0} \frac{sin x}{2sin x cos x}$
$ = lim_{x \to 0} \frac{1}{2cos x}$
$ = \frac{1}{2cos (0)}$
$ = \frac{1}{2(1)}$
$ = \frac{1}{2}$
Contoh 4
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos 2x}{sin x}$!
Penyelesaian
Soal di atas, juga akan berakhir pada bentuk tak tentu apabila menggunakan cara substitusi langsung. Maka sebaiknya diselesaikan dengan cara berikut
$lim_{x \to 0} \frac{1 - cos 2x}{sin x}$ $ = lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2sin^2 x)}{sin x}$
$ = lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2sin^2 x)}{sin x}$
$ = lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 x)}{sin x}$
$ = lim_{x \to 0} 2sin x$
$ = 2sin (0)$
$ = 2(0)$
$ = 0$
Rumus-Rumus Limit Fungsi Trigonometri
Selain mengggunakan cara-cara yang telah dijelaskan sebelumnya, penyelesaian limit fungsi trigonometri dapat dilakukan dengan menggunakan rumus-rumus limit fungsi trigonometri. Rumus-rumus limit fungsi trigonometri tersebut adalah sebagai berikut.$lim_{x \to 0} \frac{sin u}{u} = lim_{x \to 0} \frac{u}{sin u} = 1$
$lim_{x \to 0} \frac{tan u}{u} = lim_{x \to 0} \frac{u}{tan u} = 1$
Pada penerapanya, dalam banyak kasus kita tetap saja perlu menggunakan sifat-sifat/teorema trigonometri guna memudahkan menyelesaikan suatu soal. Agar lebih memahaminya, berikut ini beberapa contoh soal yang dilengkapi penyelesaiannya
Contoh 5
Tentukan nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{4x}$
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{4x} = lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{4x} \times \frac{3}{3}$
$ = \frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{3x}$
$ = \frac{3}{4} (1)$
$ = \frac{3}{4}$
Contoh 6
Tentukan nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{tan x}$
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{tan x} = lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{tan x} \times \frac{5x}{5x}$
$ = \frac{5}{1} lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{5x} \times \frac{x}{tan x}$
$ =5 lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{5x} \times lim_{x \to 0} \frac{x}{tan x}$
$ =5 (1) (1)$
$ = 5$
Contoh 7
Tentukan nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2}$
Penyelesaian
Karena $cos 2x = 1 - 2sin^2 x$, maka $cos 2x = 1 - 2sin^2 \frac{1}{2}x$
$lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2} = lim_{x \to 0} \frac{1 - (1- 2sin^2 \frac{1}{2}x)}{x^2}$
$ = lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 \frac{1}{2}x}{x^2}$
$ = lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 \frac{1}{2}x}{x^2} \times \frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{2})^2}$
$ = (\frac{1}{2})^2 lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 \frac{1}{2}x}{(\frac{1}{2}x)^2}$
$ = \frac{1}{4} (lim_{x \to 0} \frac{2sin \frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x})^2$
$ = \frac{1}{4} (1)^2$
$ = \frac{1}{4}$
Contoh 8
Tentukan nilai limit $lim_{x \to a} \frac{cos x - cos a}{x - a}$
Penyelesaian
Bentuk $cos x - cos a = -2 sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x - a)$ (rumus pengurangan cosinus)
$lim_{x \to a} \frac{cos x - cos a}{x - a} = lim_{x \to a} \frac{-2 sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x + a)}{x - a}$
$ = lim_{x \to a} \frac{-2 sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x - a)}{x - a} \times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$
$ = (-2) (\frac{1}{2}) lim_{x \to a} \frac{ sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x - a)}{\frac{1}{2}(x - a)}$
$ = - lim_{x \to a} sin \frac{1}{2}(x + a) (1)$
$ = - sin \frac{1}{2}(a + a) $
$ = - sin a$
Demikianlah tadi mengenai limit fungsi trigonometri yang disertai 8 contoh soal dan pembahasannya, semoga bermanfaat.
