Rumus Pembagian Ruas Garis pada Vektor

Sebelum membahas lebih lanjut mengenai pembagian ruas gari pada vektor, pertama harus dipahami terlebih dahulu mengenai vektor posisi. Misalkan jika titik-titik A, B, C, dan D meupakan titik sembarang dan O merupakan titik pangkal, maka $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$, dan $\vec{OD }$ memiliki vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, dan $\vec{d}$. Vektor-vektor tersebut disebut dengan vektor posisi dari titik-titik A, B, C, dan D.

Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian

Suatu titik C membagi ruas garis AB dala perbandingan m dan n sehingga AC : BC = m : n
1. Jika C di dalam AB, maka $\vec{AC}$, $\vec{CB}$ mempunyai arah yang sama dan m, n mempunyai tanda yang sama
AC : CB = m : n
AC : AB = m : (m + n)

2. Jika C di luar AB, maka $\vec{AC}$, $\vec{CB}$ mempunyai arah berlawanan dan m, n mempunyai tanda yang berlawanan
AC AC : CB = m : -n
AC : AB = m : (m - n)

Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor

Misalkan terdapat tiga buah titik yaitu A, B, dan C dengan vektor posisi $\vec{a}$, $\vec{b}$, dan $\vec{c}$. Apabila titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = m : n, maka vektor $\vec{c}$ dapat ditentukan rumus:
$\vec{c}$ $= \frac{m\vec{a} + n\vec{b}}{m + n}$

Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat

Bila titik C membagi ruas garis yang menghubungkan titik A $(x_1, y_1, z_1)$ dan B $(x_2, y_2, z_2)$ dengan perbandingan m : n, maka koordinat titik C dapat ditentukan dengan rumus:
$x$ $= \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}$
$y$ $= \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}$
$z$ $= \frac{m z_2 + n z_1}{m + n}$

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal beserta pembahasanya
Contoh 1
Ruas garis AB mempunyai koordinat titik A(3, -1) dan titik B(6, 5). Tentukan titik C, jika AC : CB = 2 : 1!
Penyelesaian
Koordinat titik C
$x$ $= \frac{2 (6) + 1 (3)}{2 + 1}$ $ = 5$
$y$ $= \frac{2 (5) + 1 (-1)}{2 + 1}$ $ = 3$
Jadi, koordinat titik C adalah (5, 3)

Contoh 2
Misalkan titik P(2, 3, -1) dan Q(7, -2, 9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. Tentukan koordinat titik R!
Penyelesaian
Titik R mebagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4, maka PR : RQ = 1 : 4
Koordinat titik R
$x$ $= \frac{1 (7) + 4 (2)}{1 + 4}$ $ = 3$
$y$ $= \frac{1 (-2) + 4 (3)}{1 + 4}$ $ = 2$
$z$ $= \frac{1 (9) + 4 (-1)}{1 + 4}$ $ = 1$
Jadi, koordinat R adalah (3, 2, 1)