Perkalian Skalar Dua Vektor

Jika telah mengenal vektor, selanjutnya perkalian skalar dua vektor, merupakan materi penting yang perlu dipahami dalam mempelajari vektor. Perkalian skalar antara dua vektor ini akan membantu anda dalam memahami kedudukan atau sudut yang dibentuk oleh dua vektor dan sangat erat kaitanya dengan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain.

Perkalian skalar antara vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ dilambangkan dengan $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$. Perkalian skalar (scalar product), ini sering juga dinamakan sebagai perkalian titik (dot product). Perkalian skalar dua vektor didefinisikan sebagai:

$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$

Dengan $|\vec{a}|$ dan $|\vec{b}|$ masing-masing menyatakan panjang vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$. Sedangkan $\theta$ menyatakan sudut lancip yang dibentuk oleh kedua vektor. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh:
Panjang vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ berturut-turut adalah 4 dan 5 satuan. Jika kedua vektor membentuk sudut 60$^o$, hitunglah perkalian skalar antara vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$!

Penyelesaian
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 4 \times 5 \times cos 60^{o}$
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 4 \times 5 \times$ $\frac{1}{2}$
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 10$

Perkalian Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Kolom

Perkalian skalar dapat pula dilakukan dalam bentuk vektor kolom. Baik di R2 maupun di R3 caranya sama yaitu mengalikan elemen yang bersesuaian kemudian hasilnya dijumlahkan. Misalkan $\vec{a}$ $ = \begin{pmatrix}
x_1\\y_1

\end{pmatrix}$ dan $\vec{b}$ $ = \begin{pmatrix}
x_2\\y_2

\end{pmatrix}$. Perkalian skalar antara kedua vektor tersebut adalah
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= \begin{pmatrix}
x_1\\y_1

\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
x_2\\y_2

\end{pmatrix}$ $= x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$

Atau pada R3, misalkan $\vec{a}$ $=\begin{pmatrix}
x_1\\y_1
\\ z_1

\end{pmatrix}$ dan $\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}
x_2\\y_2
\\ z_2

\end{pmatrix}$. Perkalian skalar kedua vektor tersebut dapat dinyatakan dalam
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}
x_1\\y_1
\\ z_1

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}
x_2\\y_2
\\ z_2

\end{pmatrix}$ $= x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}$

Berikut ini contoh soal untuk perkalian skalar dua vektor dalam bentuk kolom.

Contoh:
Misalkan dua vektor $\vec{p}$ $=\begin{pmatrix}
3\\-3
\\2

\end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
2\\1
\\ 3

\end{pmatrix}$. Tentukan perkalian skalar $\vec{p}$ dengan $\vec{q}$.

Penyelesaian
$\vec{p}$ $\cdot$ $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
3\\-3
\\2

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix}
2\\1
\\ 3

\end{pmatrix}$ $= 3\times2 + (-3)\times1 + 2\times3$ $= 9$

Kedudukan Dua Vektor Berdasarkan Perkalian Skalarnya

Hasil dari perkalian skalar dua vektor kemungkinan akan menghasilkan bilangan positif, negatif, dan bahkan nol. Dengan mengetahui ini, kedudukan antara kedua vektor tersebut dapat diketahui. Berikut ini adalah 5 kedudukan yang mungkin dari kedua vektor
1. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} > 0$, maka $cos\theta >0$ atau $0^{o}<\theta<90^{o}$. Dalam hal demikian, sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah sudut lancip
2. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = 0$, maka $cos\theta = 90^{o}$. Ini berarti kedua vektor saling tegak lurus (ortogonal).
3. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} < 0$, maka $cos\theta <0$ atau $90^{o}<\theta<180^{o}$. Keda vektor membentuk sudut tumpul.
4. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$, maka $cos\theta = 1$ atau $\theta = 0^{o}$. Kedua vektor saling berimpit
5. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$, maka $cos\theta = -1$ atau $\theta = 180^{o}$. Kedua vektor berlawanan arah.

Contoh

Tentukan kedudukan dari vektor $\vec{a}$ $ = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ dan vektor $\vec{b}$ $= -2\hat{i} + 3\hat{j} +\hat{k}$.

Jawab

$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 1\times(-2) + 2\times3 + 4 \times1$ $= 8$

$8 > 0$, ini berarti kedua vektor membentuk sudut lancip.

Dari kedudukan vektor tersebut, kita akan mudah memahami teorema Ortogonalitas. Teorema ini menyatakan bahwa, dua vektor yang tidak nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika perkalian skalar dari kedua vektor hasilnya nol.

Contoh
Diketahui dua vektor $\vec{p}$ $=\begin{pmatrix}
2\\-1
\\-3

\end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
k\\1
\\ 5

\end{pmatrix}$. Tentukan nilai k, jika vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ saling tegk lurus!

Penyelesaian

Karena saling tegak lurus maka
$\vec{p}$ $\cdot$ $\vec{q}$ $= 0$
$\begin{pmatrix}
2\\-1
\\-3

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix}
k\\1
\\ 5

\end{pmatrix}$ $= $$2\times k + (-1)\times1 + (-3)\times5$ $= 0$
$2k - 16$ $= 0$
$2k = 16$
$k = 8$
Jadi, nilai k = 8

Sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor

Perkalian skalar dua vektor memiliki dua sifat utama, yaitu
Komutatif, $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ = $\vec{b}$ $\cdot$ $\vec{a}$
Distributif, $\vec{a}$ $\cdot$ $(\vec{b} + \vec{c})$ = $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ + $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{c}$

Sudut Antara Dua Vektor

Dari pekalian skalar dua vektor, dapat juga ditentukan besar sudut diantara kedua vektor tersebut. Rumus untuk menentukan sudut antara kedua vektor adalah
$cos\theta$ $=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Berikut ini adalah contoh soal beserta pembahasan, penentuan sudut diantara dua vektor.
Contoh
Diketahui dua vektor $\vec{a}$ $=\begin{pmatrix}
2\\1
\\-3

\end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
-1\\3
\\ -2

\end{pmatrix}$. Tentukan sudut antara vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$!

Penyelesaian
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 2\times (-1) + 1\times3 + (-3)\times(-2)$ $ = 7$

$|\vec{a}|$ $=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}$ $=\sqrt{14}$

$|\vec{a}|$ $=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}$ $=\sqrt{14}$

$cos\theta$ $=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$cos\theta$ $=\frac{7}{\sqrt{14} \sqrt{14}}$

$cos\theta$ $=\frac{7}{14}$

$cos\theta$ $=\frac{1}{2}$

$\theta $ $=arc cos \frac{1}{2}$

$\theta$ $=60^{o}$

Demikianlah mengenai perkalian skalar dua vektor semoga bermanfaat