Dalam mempelajari suku banyak/polinomial anda akan dihadapkan dengan dua buah teorema penting, yaitu Teorema Sisa dan Teorema Faktor. Pada bahasan kali ini, kita akan membahas mengenai penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor.
menggunakan teorema sisa
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah f(k).
Dalam penerapanya kita dapat menggunakan cara substitusi atau cara horner. Dalam bahasan kali ini akan dibahas dengan cara substitusi saja. Untuk lebih memahami penggunaan teorema sisa 1 perhatikan contoh berikut
Contoh 1
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak x4 + x2 – 16 dibagi (x + 1)
Penyelesaian
f(x) = x4 + x2 -16
f(-1) = (-1)4 + (-1)2 – 16
= 1 + 1 – 16
= -14
Jadi, sisa pembagiannya adalah -14
Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah f(-b/a)
Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema di atas, perhatikanlah contoh soal berikut ini.
Contoh 2
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak 2x3 + 7x2 – 5x + 4 dibagi (2x + 1)
Penyelesaian
f(x) = 2x3 + 7x2 – 5x + 4
f(-1/2) = 2(-1/2)3 + 7(-1/2)2 – 5(-1/2) + 4
= (-1/4) + (7/4) + (5/2) + 4
= 8
Jadi, sisa pembagiannya adalah 8
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.
Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema tersebut, perhatikanlah contoh soal berikut ini.
Contoh 3
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak x4 + x3 – 2x2 + x + 5 dibagi (x2 + x – 6).
Penyelesaian
Bentuk x2 + x – 6 dapat difaktorkan menjadi
x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2)
Sehingga nilai a = -3 dan b = 2
f(a) = pa + q
(-3)4 + (-3)3 – 2(-3)2 + (-3) + 5 = p(-3) + q
81 – 27 – 18 – 3 + 5 = -3p + q
38 = -3p + q
-3p + q = 38….1)
f(b) = pb + q
(2)4 + (2)3 – 2(2)2 + 2 + 5 = p(2) + q
16 + 8 – 8 + 2 + 5 = 2p + q
23 = 2p + q
2p + q = 23 …..2)
Dengan menggunakan tehnik gabungan (eliminasi substitusi) dari 1) dan 2) didapat nilai p dan nilai q
p = -3 dan q = 29
Jadi, sisa pembagiannya adalah -3x + 29
Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilai p dan q adalah dengan menggunakan rumus
Karena sisanya 0, maka (x - 1) merupakan salah satu faktornya, dan faktor yang lain adalah hasil baginya, yaitu
Dengan menggunakan teorema faktor pula kita dapat menentukan faktor linear dari suatu suku banyak. Untuk memahaminya perhatikan contoh berikut
Contoh 6
Tentukanlah himpunan penyelesaian dan faktor linear dari suku banyak f(x) = x3 – x2 – 8x + 12
Penyelesaian
Teorema Sisa
Teorema Sisa 1
Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear (x – k), kita dapatmenggunakan teorema sisa
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah f(k).
Dalam penerapanya kita dapat menggunakan cara substitusi atau cara horner. Dalam bahasan kali ini akan dibahas dengan cara substitusi saja. Untuk lebih memahami penggunaan teorema sisa 1 perhatikan contoh berikut
Contoh 1
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak x4 + x2 – 16 dibagi (x + 1)
Penyelesaian
f(x) = x4 + x2 -16
f(-1) = (-1)4 + (-1)2 – 16
= 1 + 1 – 16
= -14
Jadi, sisa pembagiannya adalah -14
Teorema Sisa 2
Teorema sisa 2 ini, menyangkut pembagian suku banyak dengan bentuk (ax + b) yaitu:Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah f(-b/a)
Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema di atas, perhatikanlah contoh soal berikut ini.
Contoh 2
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak 2x3 + 7x2 – 5x + 4 dibagi (2x + 1)
Penyelesaian
f(x) = 2x3 + 7x2 – 5x + 4
f(-1/2) = 2(-1/2)3 + 7(-1/2)2 – 5(-1/2) + 4
= (-1/4) + (7/4) + (5/2) + 4
= 8
Jadi, sisa pembagiannya adalah 8
Teorema Sisa 3
Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, kita dapat menggunakan teorema sisa berikut ini.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.
Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema tersebut, perhatikanlah contoh soal berikut ini.
Contoh 3
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak x4 + x3 – 2x2 + x + 5 dibagi (x2 + x – 6).
Penyelesaian
Bentuk x2 + x – 6 dapat difaktorkan menjadi
x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2)
Sehingga nilai a = -3 dan b = 2
f(a) = pa + q
(-3)4 + (-3)3 – 2(-3)2 + (-3) + 5 = p(-3) + q
81 – 27 – 18 – 3 + 5 = -3p + q
38 = -3p + q
-3p + q = 38….1)
f(b) = pb + q
(2)4 + (2)3 – 2(2)2 + 2 + 5 = p(2) + q
16 + 8 – 8 + 2 + 5 = 2p + q
23 = 2p + q
2p + q = 23 …..2)
Dengan menggunakan tehnik gabungan (eliminasi substitusi) dari 1) dan 2) didapat nilai p dan nilai q
p = -3 dan q = 29
Jadi, sisa pembagiannya adalah -3x + 29
Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilai p dan q adalah dengan menggunakan rumus
Sebagai contoh, kita akan menggunakan contoh 3
Sehingga hasil yang didapatkan sama yaitu -3x + 29
Teorema Faktor
Mencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan menentukan akar-akar persamaan yang memenuhi f(x) = 0. Kita dapat menyelesaikan persamaan suku banyak dengan menentukan faktor linear.
Jika f(x) suatu banyak, maka (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar persamaan f(x) = 0
Untuk lebih memahami tentang persamaan suku banyak dan penyelesaiannya, silahkan perhatikan
contoh soal berikut.
Contoh 4
Tentukanlah faktor-faktor dari suku banyak x3 + 4x2 + x – 6 = 0
Penyelesaian
Misalkan (x – k) merupakan faktor dari f(x) = x3 + 4x2 + x – 6 = 0, maka nilai k yang mungkin adalah faktor dari -6, yaitu ±1, ±2, ±3 dan ±6
Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut misalkan x = 1 (pembagi (x - 1)), dengan cara horner diperoleh
Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut misalkan x = 1 (pembagi (x - 1)), dengan cara horner diperoleh
Karena sisanya 0, maka (x - 1) merupakan salah satu faktornya, dan faktor yang lain adalah hasil baginya, yaitu
x3 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Jadi, faktor dari suku banyak x3 + 4x2 + x – 6 = 0 adalah
x3 + 4x2 + x – 6 = (x - 1)(x + 2)(x + 3)
Dalam kasus tertentu, terkadang kita dapat menggunakan cara horner secara bertingkat dalam menentukkan faktor-faktor dari suatu suku banyak. Berikut ini adalah contoh soalnya
Contoh 5
Tentukanlah faktor-faktor dari suku banyak 2x4 + x3 – 14x2 – 19x – 6
Penyelesaian
Dilihat dari suku banyak, maka nilai k yang mungkin adalah faktor dari -6, yaitu ±1, ±2, ±3 dan ±6
Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut misalkan x = -1 (pembagi (x + 1)), dengan cara horner
(x + 1) merupakan salah satu faktornya (karena sisanya 0), namun karena masih menyisakan hasil bagi suku banyak berderajat 3, maka kita coba lagi untuk x = 3 (pembagi (x - 3))
Dari bagan di atas menghasilkan hasil bagi yaitu
2x2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)
Jadi, faktor dari suku banyak 2x4 + x3 – 14x2 – 19x – 6 adalah
2x4 + x3 – 14x2 – 19x – 6 = (x + 1)(x - 3)(2x + 1)(x + 2)
Dengan menggunakan teorema faktor pula kita dapat menentukan faktor linear dari suatu suku banyak. Untuk memahaminya perhatikan contoh berikut
Contoh 6
Tentukanlah himpunan penyelesaian dan faktor linear dari suku banyak f(x) = x3 – x2 – 8x + 12
Penyelesaian
Dicoba untuk x = 2 (pemagi (x - 2))
Diperoleh hasil bagi
2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
Sehingga faktor-faktornya
x3 – x2 – 8x + 12 = 0
(x - 2)(2x – 3)(x + 2) = 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 3/2, 2}
Berikut ini merupakan beberapa sifat dan bentuk istimewa dari beberapa suku banyak, yang mungkin nantinya berguna dalam memecahkan soal-soal berkaitan dengan suku banyak
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:
1) x1 + x2 = -b/a
2) x1 ∙ x2 = c/a
Untuk Suku Banyak Berderajat Tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka:
1) x1 + x2 + x3 = -b/a
2) x1 ∙ x2 + x2 ∙ x3 + x1 ∙ x3 = c/a
3) x1 ∙ x2 ∙ x3 = -d/a
Untuk Suku Banyak Berderajat Empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Jika x1, x2 , x3 , dan x4 adalah akar-akar persamaan suku banyak ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, maka:
1) x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
2) x1 ∙ x2 ∙ x3 + x2 ∙ x3 ∙ x4 + x3 ∙ x4 ∙ x1 + x4 ∙ x1 ∙ x2 = c/a
3) x1 ∙ x2 + x1 ∙ x3 + x1 ∙ x4 + x2 ∙ x3 + x2 ∙ x4 + x3 ∙ x4 = -d/a
4) x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4 = c/a
Untuk tiap x dan a bilangan real dan n bilangan asli, maka bentuk-bentuk:
(xn – an) habis dibagi dengan (x – a)
(x2n – a2n) habis dibagi dengan (x + a)
(x2n+1 + a2n+1) habis dibagi (x + a)
2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
Sehingga faktor-faktornya
x3 – x2 – 8x + 12 = 0
(x - 2)(2x – 3)(x + 2) = 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 3/2, 2}
Berikut ini merupakan beberapa sifat dan bentuk istimewa dari beberapa suku banyak, yang mungkin nantinya berguna dalam memecahkan soal-soal berkaitan dengan suku banyak
Sifat-Sifat Akar Beberapa Bentuk Suku Banyak
Untuk Suku Banyak Berderajat Dua: ax2 + bx + c = 0Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:
1) x1 + x2 = -b/a
2) x1 ∙ x2 = c/a
Untuk Suku Banyak Berderajat Tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka:
1) x1 + x2 + x3 = -b/a
2) x1 ∙ x2 + x2 ∙ x3 + x1 ∙ x3 = c/a
3) x1 ∙ x2 ∙ x3 = -d/a
Untuk Suku Banyak Berderajat Empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Jika x1, x2 , x3 , dan x4 adalah akar-akar persamaan suku banyak ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, maka:
1) x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
2) x1 ∙ x2 ∙ x3 + x2 ∙ x3 ∙ x4 + x3 ∙ x4 ∙ x1 + x4 ∙ x1 ∙ x2 = c/a
3) x1 ∙ x2 + x1 ∙ x3 + x1 ∙ x4 + x2 ∙ x3 + x2 ∙ x4 + x3 ∙ x4 = -d/a
4) x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4 = c/a
Bentuk Pembagian Istimewa
Berikut ini adalah pembagian yang dikenal sebagai pembagian istimewa.Untuk tiap x dan a bilangan real dan n bilangan asli, maka bentuk-bentuk:
(xn – an) habis dibagi dengan (x – a)
(x2n – a2n) habis dibagi dengan (x + a)
(x2n+1 + a2n+1) habis dibagi (x + a)
Hasil bagi pada setiap bentuk pembagian di atas dapat ditentukan dengan menggunakan rumus
