Penggunaan Turunan Untuk Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva

Nah, sekarang coba perhatikan gambar grafik fungsi $y = f(x)$ di bawah ini. Titik P merupakan titik tetap yang terletak pada kurva $y = f(x)$, sedangkan titik Q merupakan titik yang bergerak sepanjang kurva. Garis yang melalui titik P dan Q disebut dengan tali busur. Apabila titik Q mendekati P maka garis PQ akan menjadi garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik P. Jadi garis singgung di titik P merupakan keadaan limit dari tali busur PQ ketika titik Q bergerak mendekati P.

Gambar berikutnya, merupakan keadaan dimana titik Q mendekati P. Misalkan titik P mempunyai absis di $a$ dan Q mempunyai absis di $a + h$. Maka, ordinat titik P adalah $f(a)$ dan ordinat titik Q adalah $f(a + h)$.

Apabila $h$ mendekati 0, maka titik Q akan mendekati P. Agar mudah dipahami, ketika titik Q yang paling dekat dengan P diganti dengan S. Sehingga PS merupakan garis singgung kurva. Gradien garis PS dapat ditentukan dengan

$m = lim_{h \to 0}\frac {f(a + h) - f(a)}{h}$

$m = f'(a)$

Dengan demikian, untuk sembarang P yang terletak pada kurva $y = f(x)$ dengan koordinat $(x, f(x))$ rumus sebelumnya dapat diperluas menjadi

Dengan bahasa yang lebih mudah, turunan dari $y = f(x)$ merupakan gradien garis singgung kurva di titik $(x, f(x)$. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasanya berikut ini.

Tentukanlah gradien garis singgung kurva $y = x^2 + x$ di titik (-2, 2)!

Penyelesaian

$f'(x) = 2x + 1$

$m = f'(x)$

$m = f'(-2)$

$m = 2(-2) + 1$

$m = -3$

Dalam beberapa soal, tidak hanya gradien yang diminta namun sering kali kita juga diminta untuk menentukan persamaan garisnya. Untuk menetukan persamaan gari yang bergradien $m$ dan melalui titi $(x_1, y_1)$ dapat menggunakan rumus

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Nah, sekarang perhatikan contoh soal yang memuat uraian di atas berikut ini

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva $y = 2 - 4x^2$ di titik (1, -2)!

Penyelesaian

$f'(x) = -8x$

$m = -8(1)$

$m = -8$

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y + 2 = -8(x - 1)$

$y + 2 = -8x + 8$

$y = -8x + 6$

Jadi, persamaan garis singgung kurvanya adalah $y = -8x + 6$

Persamaan garis singgung kurva $y = x^2 - 4x + 8$ dengan absis di x = -1 adalah ...

Penyelesaian

$f'(x) = 2x - 4$

$m = 2(-1) - 4$

$m = -6$

Untuk menentukan persamaan garis diperlukan koordinat dari titik yang dilalui garis singgung. Dalam hal ini titik singgung garis dan kurba dapat digunakan. Untuk absis di x = -1 ordinat titik singgungnya adalah

$y = (-1)^2 - 4(-1) + 8$

$y = 1 + 4 + 8$

$y = 13$

Sehingga diperoleh titik singgung (-1, 13)

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 13 = -6(x - (-1))$

$y = -6x - 6 + 13$

$y = -6x + 7$

Penyelesaian

Untuk meneylesaikan soal di atas maka, langkah pertama yang kita lakukan adalah menentukan turunan dari kurva

$f'(x) = 2x$

$m = f'(x)$

$4 = 2x$

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Kemudian kita tentukan ordinat titik singgunynya

$y = x^2 – 5$

$y = 2^2 – 5$

$y = 4 – 5$

$y = -1$

Jadi, koordinat titik yang dimaksud adalah (2, -1)

Penyelesaian

Soal di atas sangat erat sekali hubungannya dengan materi persamaan garis lurus, maka sangat disarankan untuk mengingat kembali materi tersebut. Langkah pertama yang dilakukan untuk menyelesaikan Contoh Soal 5 adalah menentukan gradien garis $y = x + 6$ yang kita sebut dengan $m_1$

$m_1 = 1$

Karena garis singgung tegak lurus garis $y = x + 6$ maka gradien garis singgung kurva $m_2$ dapat ditentukan dengan

$m_2 = - \frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1} = -1$

Langkah berikutnya, dilanjutkan dengan menentukan titik singgung antara garis dan kurva yaitu

$m = f'(x)$

$-1 = 2x - 3$

$-1 + 3 = 2x$

$2 = 2x$

$x = 1$

$y = x^2 – 3x + 3$

$y = 1^2 – 3(1) + 3$

$y = 1 – 3 + 3$

$y = 1$

Langkah terakhir adalah menentukan persamaan garis singgung yang dicari 

$y - y_1 = m_2 (x - x_1)$

$y - 1 = (-1)(x - 1)$

$y = -x + 1 + 1$

$y = -x + 2$

Jadi, persamaan garis singgung yag dicari adalah $y = -x + 2$

Demikianlah mengenai penggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung kurva. Untuk penggunaan turunan lainnya akan dibahas pada artikel lainnya. Semoga dapat dipahami dan bermanfaat.