Turunan Fungsi Trigonometri, Contoh Soal dan Pembahasanya

Pada artikel sebelumnya telah dibahas mengenai turunan pada fungsi aljabar. Selain itu telah dibahas pula mengenai rumus yang perlu diketahui pada turunan dan integral dari fungsi trigonometri. Artikel kali ini akan membahas mengenai turunan fungsi trigonometri yang dilengkapi dengan pembuktian, contoh soal, beserta pembahasanya.

Rumus Turunan Trigonometri

Misalkan fungsi $f(x) = sin x$, maka
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x + h) - sin x}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin x cos h + cos x sin h - sin x}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin x (cos h - 1) + cos x sin h}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin x (cos h - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{cos x sin h}{h}$
$f'(x) = sin x \lim_{h \to 0} \frac{cos h - 1}{h} + cos x \lim_{h \to 0} \frac{sin h}{h}$
Dengan menggunakan perhitungan limit trigonometri, diperoleh bahwa
$\lim_{h \to 0} \frac{cos h - 1}{h} = 0$ dan $\lim_{h \to 0} \frac{sin h}{h} = 1$
Jika, dilanjutkan bentuk turunan terakhir akan menjadi
$f'(x) = sin x (0) + cos x (1)$
$f'(x) = cos x$
Jadi, diperoleh rumus turunan $f(x) = sin x$ adalah
$f'(x) = cos x$

Misalkan fungsi $f(x) = cos x$, maka
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x + h) - cos x}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos x cos h - sin x sin h - cos x}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos x (cos h - 1) - sin x sin h}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos x (cos h - 1)}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{sin x sin h}{h}$
$f'(x) = cos x \lim_{h \to 0} \frac{ (cos h - 1)}{h} - sin x \lim_{h \to 0} \frac{ sin h}{h}$
$f'(x) = cos x (0) - sin x (1)$
$f'(x) = - sin x (1)$
Jadi, diperoleh rumus turunan $f(x) = cos x$ adalah
$f'(x) = - sin x (1)$

Misalkan fungsi $f(x) = tan x$, maka
$f(x) = \frac{sin x}{cos x}$
Misal
$u = sin x$ maka $u' = cos x$
$v = cos x$ maka $v' = -sin x$
Dengan menggunakan rumus turunan hasil bagi diperoleh
$f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
$f'(x) = \frac{cos x \cdot cos x - sin x \cdot (-sin x)}{(cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{cos^2 x + sin^2 x}{cos^2 x}$
$f'(x) = \frac{1}{cos^2 x}$
$f'(x) = sec^2 x$
Jadi, diperoleh rumus turunan $f(x) = tan x$ adalah
$f'(x) = sec^2 x$

Dengan cara yang hampir sama diperoleh rumus turunan trigonometri lainnya. Berikut ini adalah rumus-rumus turunan trigonometri yang sangat bermanfaat dalam menyelesaikan soal-soal nantinya
$f(x) = sin x$ maka $f'(x) = cos x$
$f(x) = cos x$ maka $f'(x) = -sin x$
$f(x) = tan x$ maka $f'(x) = sec^2 x$
$f(x) = cot x$ maka $f'(x) = -cosec^2 x$
$f(x) = sec x$ maka $f'(x) = sec x \cdot tan x$
$f(x) = cosec x$ maka $f'(x) = cosec x \cdot cot x$

Untuk lebih jelasnya mengenai rumus-rumus di atas, perhatikan beberapa contoh soal beserta pembahasannya berikut ini

Contoh 1
Tentukan turunan fungsi $f(x) = 2cos x - sin x + x^2$
Penyelesaian
$f'(x) = 2(-sin x) - cos x + 2x$
$f'(x) = -2sin x - cos x + 2x$

Contoh 2
Carilah $f'(x)$ dari fungsi $f(x) = \frac {cos x }{sin x + cos x}$!
Penyelesaian
Misal
$u = sin x$ maka $u' = cos x$
$v = sin x + cos x$ maka $v' = cos x - sin x$
$f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{(sin x - cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
$f'(x) = \frac{cos x(sin x + cos x) - sin x(cos x - sin x)}{(sin x + cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{sin x cos x - cos^2 x - sin x cos x + sin^2 x}{sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x}$
$f'(x) = \frac{ - cos^2 x  + sin^2 x}{sin^2 x + cos^2 x + 2sin x cos x }$
$f'(x) = \frac{ - (1 - sin^2 x)  + sin^2 x}{1 + 2sin x cos x }$
$f'(x) = \frac{ - 1 + sin^2 x  + sin^2 x}{1 + 2sin x cos x }$
$f'(x) = \frac{ - 1 + 2 sin^2 x}{1 + 2sin x cos x }$
$f'(x) = \frac{ 2 sin^2 x -1}{1 + sin2x }$

Contoh 3
Turunan dari $f(x) = cos 6x $ adalah ...
Penyelesaian
$f'(x) = 6 (-sin 6x)$
$f'(x) = -6 sin 6x$

Contoh 4
Tentukan turunan pertama dari $f(x) = tan^2 x$!
Penyelesaian
Untuk contoh soal 3, dapat diselesaikan dengan aturan rantai
Misal
$u = tan x$ maka $u' = sec^2 x$
$f(x) = u^2 $
$f'(x) = 2u u' $
$f'(x) = 2tan x sec^2 x$

Contoh 5
Turunan pertama fungsi $y = cos(2x^3 - x^2)$ adalah ...
Penyelesaian
Misal
$u = 2x^3 - x^2$ maka $u' = 6x^2 - 2x$
$y = cos u$
$y = (6x^2 - 2x) (-sin(2x^3 - x^2))$
$y = -(6x^2 - 2x) sin(2x^3 - x^2)$

Contoh 6
Carilah $\frac{dy}{dx}$ fungsi $y = x^2 sin 3x$!
Penyelesaian
Misal
$u = x^2$ maka $u' = 2x$
$v = sin 3x$ maka $v' = 3cos x$
$\frac{dy}{dx} = u' \cdot v + u \cdot v'$
$\frac{dy}{dx} = 2x \cdot sin 3x + x^2 \cdot 3cos x$
$\frac{dy}{dx} = 2x sin 3x + 3x^2 cos x$
Demikianlah mengenai turunan fungsi trigonometri, dalam artikel lainnya akan dibahas mengenai penggunaan turunan untuk menentukan gradien garis singgung kurva, fungsi naik dan turun, serta nilai statsioner.