Turunan Fungsi aljabar merupakan salah satu dari pengembangan Limit Fungsi. Pada bahasan kali ini, akan dibahas mengenai Turunan Fungsi. Turunan Fungsi sendiri dapat diterapkan dalam menentukan gradien garis singgung kurva, fungsi naik dan fungsi turun, serta nilai-nilai stasioner suatu fungsi. Lebih lanjut materi turunan atau dikenal juga dengan isitilah diferensial akan terkait pula dengan materi anti turunan atau integral.
Istilah turunan merpakan laju perubahan nilai fungsi f(x) pada x = a. Dengan mengambil nilai h dekat dengan 0, sehingga diperoleh bentuk limit sebagai berikut
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
Jika limit di atas ada atau mempunyai nilai, fungsi f(x) dikatakan diferensiabel pada x = a dan bentuk limit selajutnya dilambangkan dengan f'(a) (dibaca f aksen a).
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
f'(a) inilah yang disebut dengan turunan atau derivatif fungsi f(x) terhadap x pada x = a. Selanjutnya, notasi turunan f(x) dapat dinyatakan dengan
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
Selain notasi di atas, turunan fungsi juga dapat dituliskan dengan beberapa lambang berikut
$y'$ atau $\frac{df(x)}{x}$ atau $\frac{dy}{dx}$
Lambang $\frac{df(x)}{x}$ atau $\frac{dy}{dx}$ ini diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz seorang matematikawan asal Jerman
Mengenai turunan fungsi aljabar, ada beberapa rumus turunan yang perlu diketahui. Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u' turunan dari u dan v' turunan dari v dan k bilangan konstan maka berlaku sebagai berikut.
$f(x) = k$ maka $f'(x) = 0$
$f(x) = x$ maka $f'(x) = 1$
$f(x) = x^n$ maka $f'(x) = nx^{n-1}$
$f(x) = kx^n$ maka $f'(x) = kn x^{n-1}$
$f(x) = k u$ maka $f'(x) = k u'$ (ingat u adalah fungsi dalam x)
$f(x) = u \pm v$ maka $f'(x) = u' \pm v'$
$f(x) = u \cdot v$ maka $f'(x) = u' \cdot v + u \dot v'$
$f(x) = \frac{u}{v}$ maka $f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
$f(x) = u^n$ maka $f'(x) = n (u^{n-1})(u')$
Untuk lebih jelasnya mengenai penerapan rumus turunan fungsi di atas, berikut ini adalah contoh soal beserta uraiannya.
Contoh 1
Diketahui $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)!
Penyelesaian
$f'(x) = 3(2x^2-1) - 5 + 0$
$f'(x) = 6x - 5$
Contoh 2
Carilah turunan dari $f(x) = \frac{4}{x^6}$
Penyelesaian
Dengan menggunakan sifat-sifat perpangkatan fungsi $f(x) = \frac{4}{x^6}$ dapat diubah menjadi $f(x) =4x^-6$, sehingga
$f'(x) = 4(-6) x^{-6-1}$
$f'(x) = -24 x^{-7}$
$f'(x) = - \frac{24}{x^-7}$
Contoh 3
Tentukan turunan fungsi $y = \sqrt[3]{x^4}$!
Penyelesaian
Fungsi $y = \sqrt[3]{x^4}$ merupakan pangkat bentuk pecahan sehingga dapat diubah menjadi $y = x^{\frac{4}{3}}$
$y' = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1}$
$y' = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$
$y' = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$
Contoh 4
Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi-fungsi, tentukan turunan dari $f(x) = (x^3 - 4)(x^2 + 3x + 2)$
Penyelesaian
Misal
$u = x^3 - 4$ maka $u' = 3x^2$
$v = x^2 + 3x + 2$ maka $v' = 2x + 3$
$f'(x) = (3x^2)(x^2 + 3x + 2)$ $ + (x^3 - 4)(2x + 3)$
$f'(x) = 3x^4 + 9x^3 + 6x^2$ $ + 2x^4 + 3x^3 - 8x - 12$
$f'(x) = 5x^4 + 12x^3 + 6x^2 - 8x - 12$
Contoh 5
Turunan fungsi $f(x) = \frac{5x^2 - 4}{x+2}$ adalah ...
Penyelesaian
Misal
$u = 5x^2 - 4$ maka $u' = 10x$
$v = x + 2$ maka $v' = 1$
$f'(x) = \frac{(10x)(x + 2) - (5x^2 - 4)(1)}{(x + 2)^2}$
$f'(x) = \frac{10x^2 + 20 - 5x^2 + 4}{x^2 + 4x + 4}$
$f'(x) = \frac{5x^2 + 24}{x^2 + 4x + 4}$
Contoh 6
Turunan pertama dari $f(x) = (2 - 6x)^5$ adalah ...
Penyelesaian
Soal seperti ini dapat diselesaikan dengan menggunakan turunan aturan rantai, rumus untuk turunan rantai sudah dicatumkan di atas yaitu
$f(x) = u^n$ maka $f'(x) = n (u^{n-1})(u')$
Misal $u = 2 - 6x$ maka $u' = -6$
$f(x) = u^5$
$f'(x) = 5(u^{5 - 1}) u'$
$f'(x) = 5(2 - 6x)^{4} (-6)$
$f'(x) = -30(2 - 6x)^{4}$
Contoh 7
Diketahui $f(x) = \frac{3x - 1}{2x + 1}$, $f'(x)$ adalah turunan dari $f(x)$. Nilai dari $f'(2)$ adalah ...
Penyelesaian
Misal
$u = 3x - 1$ maka $u' = 3$
$v = 2x + 1$ maka $v' = 2$
$f'(x) = \frac{(3)(2x + 1) + (3x - 1)(2)}{(2x + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{(6x + 3 - 6x + 2}{4x^2 + 4x + 1}$
$f'(x) = \frac{5}{4x^2 + 4x + 1}$
$f'(2) = \frac{5}{4(2)^2 + 4(2) + 1}$
$f'(2) = \frac{5}{16 + 8 + 1}$
$f'(2) = \frac{5}{25}$
$f'(2) = \frac{1}{5}$
Contoh 8
Misalkan fungsi $f$ ditentukan oleh $f(x) = 4 - 8x - x^2$. $f'(x)$ adalah turunan dari fungsi $f(x)$, tentukan nilai $x$ jika $f'(x) = 6$!
Penyelesaian
$f'(x) = -8 - 2x$
$6 = -8 - 2x$
$6 + 8 = - 2x$
$14 = -2x$
$\frac{14}{-2} = x$
$x = -7$
Contoh 9
Misalkan terdapat fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ mempunyai turunan $f'(x)$ dan $g'(x)$. Jika $f(1) = 8$, $f'(1)= -3$, $g(1) = -4$, dan $g'(1) = -7$. Tentukan nilai dari $(f \cdot g)'(1)$!
Penyelesaian
$(f \cdot g)(x) = f(x) \times g(x)$
$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
$(f \cdot g)'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1)$
$(f \cdot g)'(1) = (-3) \cdot (-4) + 8 \cdot (-7)$
$(f \cdot g)'(1) = 12 - 56$
$(f \cdot g)'(1) = 44$
Contoh 10
Sebuah drum menggelinding pada bidang miring. Jarak yang ditempuh $s$ meter dari titik asal selama $t$ sekon dinyatakan dengan rumus $s(t) = \frac{1}{2} t^2 + t$. Tentukanlah kecepatan sesaat drum pada waktu $t = 0,1$ sekon!
Penyelesaian
$s(t) = \frac{1}{2} t^2 + t$
$s'(t) = t + 1$
$s'(0,1) = 0,1 + 1$
$s'(0,1) = 1,1 m/s$
Jadi, kecepatan sesaat drum adalah 1,1 m/s
Demikianlah mengenai turunan fungsi aljabar yang disertai contoh soal dan pembahasanya.
Istilah turunan merpakan laju perubahan nilai fungsi f(x) pada x = a. Dengan mengambil nilai h dekat dengan 0, sehingga diperoleh bentuk limit sebagai berikut
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
Jika limit di atas ada atau mempunyai nilai, fungsi f(x) dikatakan diferensiabel pada x = a dan bentuk limit selajutnya dilambangkan dengan f'(a) (dibaca f aksen a).
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
f'(a) inilah yang disebut dengan turunan atau derivatif fungsi f(x) terhadap x pada x = a. Selanjutnya, notasi turunan f(x) dapat dinyatakan dengan
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
Selain notasi di atas, turunan fungsi juga dapat dituliskan dengan beberapa lambang berikut
$y'$ atau $\frac{df(x)}{x}$ atau $\frac{dy}{dx}$
Lambang $\frac{df(x)}{x}$ atau $\frac{dy}{dx}$ ini diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz seorang matematikawan asal Jerman
Mengenai turunan fungsi aljabar, ada beberapa rumus turunan yang perlu diketahui. Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u' turunan dari u dan v' turunan dari v dan k bilangan konstan maka berlaku sebagai berikut.
$f(x) = k$ maka $f'(x) = 0$
$f(x) = x$ maka $f'(x) = 1$
$f(x) = x^n$ maka $f'(x) = nx^{n-1}$
$f(x) = kx^n$ maka $f'(x) = kn x^{n-1}$
$f(x) = k u$ maka $f'(x) = k u'$ (ingat u adalah fungsi dalam x)
$f(x) = u \pm v$ maka $f'(x) = u' \pm v'$
$f(x) = u \cdot v$ maka $f'(x) = u' \cdot v + u \dot v'$
$f(x) = \frac{u}{v}$ maka $f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
$f(x) = u^n$ maka $f'(x) = n (u^{n-1})(u')$
Untuk lebih jelasnya mengenai penerapan rumus turunan fungsi di atas, berikut ini adalah contoh soal beserta uraiannya.
Contoh 1
Diketahui $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)!
Penyelesaian
$f'(x) = 3(2x^2-1) - 5 + 0$
$f'(x) = 6x - 5$
Contoh 2
Carilah turunan dari $f(x) = \frac{4}{x^6}$
Penyelesaian
Dengan menggunakan sifat-sifat perpangkatan fungsi $f(x) = \frac{4}{x^6}$ dapat diubah menjadi $f(x) =4x^-6$, sehingga
$f'(x) = 4(-6) x^{-6-1}$
$f'(x) = -24 x^{-7}$
$f'(x) = - \frac{24}{x^-7}$
Contoh 3
Tentukan turunan fungsi $y = \sqrt[3]{x^4}$!
Penyelesaian
Fungsi $y = \sqrt[3]{x^4}$ merupakan pangkat bentuk pecahan sehingga dapat diubah menjadi $y = x^{\frac{4}{3}}$
$y' = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1}$
$y' = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$
$y' = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$
Contoh 4
Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi-fungsi, tentukan turunan dari $f(x) = (x^3 - 4)(x^2 + 3x + 2)$
Penyelesaian
Misal
$u = x^3 - 4$ maka $u' = 3x^2$
$v = x^2 + 3x + 2$ maka $v' = 2x + 3$
$f'(x) = (3x^2)(x^2 + 3x + 2)$ $ + (x^3 - 4)(2x + 3)$
$f'(x) = 3x^4 + 9x^3 + 6x^2$ $ + 2x^4 + 3x^3 - 8x - 12$
$f'(x) = 5x^4 + 12x^3 + 6x^2 - 8x - 12$
Contoh 5
Turunan fungsi $f(x) = \frac{5x^2 - 4}{x+2}$ adalah ...
Penyelesaian
Misal
$u = 5x^2 - 4$ maka $u' = 10x$
$v = x + 2$ maka $v' = 1$
$f'(x) = \frac{(10x)(x + 2) - (5x^2 - 4)(1)}{(x + 2)^2}$
$f'(x) = \frac{10x^2 + 20 - 5x^2 + 4}{x^2 + 4x + 4}$
$f'(x) = \frac{5x^2 + 24}{x^2 + 4x + 4}$
Contoh 6
Turunan pertama dari $f(x) = (2 - 6x)^5$ adalah ...
Penyelesaian
Soal seperti ini dapat diselesaikan dengan menggunakan turunan aturan rantai, rumus untuk turunan rantai sudah dicatumkan di atas yaitu
$f(x) = u^n$ maka $f'(x) = n (u^{n-1})(u')$
Misal $u = 2 - 6x$ maka $u' = -6$
$f(x) = u^5$
$f'(x) = 5(u^{5 - 1}) u'$
$f'(x) = 5(2 - 6x)^{4} (-6)$
$f'(x) = -30(2 - 6x)^{4}$
Contoh 7
Diketahui $f(x) = \frac{3x - 1}{2x + 1}$, $f'(x)$ adalah turunan dari $f(x)$. Nilai dari $f'(2)$ adalah ...
Penyelesaian
Misal
$u = 3x - 1$ maka $u' = 3$
$v = 2x + 1$ maka $v' = 2$
$f'(x) = \frac{(3)(2x + 1) + (3x - 1)(2)}{(2x + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{(6x + 3 - 6x + 2}{4x^2 + 4x + 1}$
$f'(x) = \frac{5}{4x^2 + 4x + 1}$
$f'(2) = \frac{5}{4(2)^2 + 4(2) + 1}$
$f'(2) = \frac{5}{16 + 8 + 1}$
$f'(2) = \frac{5}{25}$
$f'(2) = \frac{1}{5}$
Contoh 8
Misalkan fungsi $f$ ditentukan oleh $f(x) = 4 - 8x - x^2$. $f'(x)$ adalah turunan dari fungsi $f(x)$, tentukan nilai $x$ jika $f'(x) = 6$!
Penyelesaian
$f'(x) = -8 - 2x$
$6 = -8 - 2x$
$6 + 8 = - 2x$
$14 = -2x$
$\frac{14}{-2} = x$
$x = -7$
Contoh 9
Misalkan terdapat fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ mempunyai turunan $f'(x)$ dan $g'(x)$. Jika $f(1) = 8$, $f'(1)= -3$, $g(1) = -4$, dan $g'(1) = -7$. Tentukan nilai dari $(f \cdot g)'(1)$!
Penyelesaian
$(f \cdot g)(x) = f(x) \times g(x)$
$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
$(f \cdot g)'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1)$
$(f \cdot g)'(1) = (-3) \cdot (-4) + 8 \cdot (-7)$
$(f \cdot g)'(1) = 12 - 56$
$(f \cdot g)'(1) = 44$
Contoh 10
Sebuah drum menggelinding pada bidang miring. Jarak yang ditempuh $s$ meter dari titik asal selama $t$ sekon dinyatakan dengan rumus $s(t) = \frac{1}{2} t^2 + t$. Tentukanlah kecepatan sesaat drum pada waktu $t = 0,1$ sekon!
Penyelesaian
$s(t) = \frac{1}{2} t^2 + t$
$s'(t) = t + 1$
$s'(0,1) = 0,1 + 1$
$s'(0,1) = 1,1 m/s$
Jadi, kecepatan sesaat drum adalah 1,1 m/s
Demikianlah mengenai turunan fungsi aljabar yang disertai contoh soal dan pembahasanya.
