Naik dalam kehidupan sehari-hari artinya bergerak ke atas atau ke tempat yang lebih tinggi dari tempat semula. Sedangkan turun artinya bergerak ke bawah atau menuju ke tempat yang lebih rendah dari tempat semula. Yang dimaksud fungsi naik dan fungsi turun ini hampir sama dengan pengertian di atas.
Sebelumnya, telah dibahas mengenai penggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung kurva. Dari sana diketahui bahwa turunan fungsi $y = f(x)$ atau $f'(x)$ merupakan gradien dari garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik $(x, f(x)).
Dari gambar di atas terlihat bahwa, fungsi naik dalam interval apabila garis singgungnya bernilai positif. dan fungsi turun apabila garis singgungnya bernilai negatif.
Dengan demikian mengetahui kapan fungsi naik ataupun turun, kita dapat menentukannya dengan menggunakan turunan dari fungsi tersebut. Suatu fungsi $f(x)$ dikatakan naik apabila memenuhi pertidaksamaan $f ′(x) > 0$. Sedangkan fungsi $f(x)$ dikatakan turun apabila memenuhi pertidaksamaan $f ′(x) < 0$. Fungsi $f'(x)$ merupakan turunan dari fungsi $f(x)$. Dengan menyelesaikan pertidaksamaan tersebut kita dapat menentukan interval suatu fungsi naik atau turun.
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal yang disertai pembahasan mengenai fungsi naik dan turun di bawah ini
Contoh 1
Tentukan dalam interval mana fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ naik dan turun!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 - 4x$
$f'(x) = 2x - 4$
Interval naik
$f'(x) > 0$
$2x - 4 > 0$
$2x > 4$
$x > 2$
Jadi, fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ naik dalam interval $x > 2$
Interval turun
$f'(x) < 0$
$2x - 4 < 0$
$2x < 4$
$x < 2$
Jadi, fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ turun dalam interval $x < 2$
Contoh 2
Tentukan dalam interval mana fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ naik dan turun!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 - 6x^2$
$f'(x) = 3x^2 - 12x$
Interval naik
$f'(x) > 0$
$3x^2 - 12x > 0$
$3x(x - 4) > 0$
Bentuk di atas merupakan bentuk penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Penyelesaian dari bentuk terakhir adalah
$x < 0$ atau $x > 4$
Jadi, fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ naik dalam interval $x < 0$ atau $x > 4$
Interval turun
$f'(x) < 0$
$3x^2 - 12x < 0$
$3x(x - 4 < 0$
$0 < x < 4$
Jadi, fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ turun dalam interval $0 < x < 4$
Untuk lebih jelasnya mengenai penyelesaian soal Contoh 2 perhatikan gambar berikut
Beberapa istilah yang berhubungan dengan fungsi naik dan fungsi turun harus dipahami di antaranya adalah sebagai berikut
Jika $f'(x) > 0$ untuk semua x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan selalu naik untuk semua bilangan real
Jika $f'(x) < 0$ untuk semua x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan selalu turun untuk semua bilangan real
Jika $f'(x) \geq 0$ untuk semua x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan tidak pernah turun untuk semua bilangan real
Jika $f'(x) \leq 0$ untuk semua x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan tidak pernah naik untuk semua bilangan real
Biasanya dalam penyelesaian soal kita dihadapkan pada $f'(x)$ dalam bentuk fungsi kuadrat, dimana kita dituntut untuk menunjukkan apakah fungsi tersebut selalu positif atau selalu negatif untuk semua bilangan real. Untuk itu, kita perlu mengingat kembali materi definit positif dan definit negatif. Definit positif dalam bahasa sederhannanya menunjukkan suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif untuk semua x bilangan real. Sedangkan defint negatif menunjukkan suatu fungsi selalu bernilai negatif untuk semua x bilangan real. Syarat suatu fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ dikatakan definit positif maupun negatif adalah sebagai berikut
Definit positif, maka $a > 0$ dan $D < 0$
Definit negatif, maka $a < 0$ dan $D < 0$
Dengan D adalah nilai diskriminan $(D = b^2 - 4ac)$
Pada kasus lain, jika ditemukan nilai diskriminan $D = 0$, maka ini akan menunjukkan bahwa fungsi tersebut tidak pernah naik ataupun tidak pernah turun. Jika $f'(x) = ax^2 + bx + c$ maka
$f(x)$ tidak pernah turun apabila $a > 0$ dan $D = 0$
$f(x)$ tidak pernah naik apabila $a < 0$ dan $D = 0$
Agar lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut
Contoh 3
Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 8$ selalu naik untuk semua x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 8$
$f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$
Pada $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$ diperoleh $a = 3 > 0$ dan
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(6) = 64 - 72 = 8 < 0$
Maka, $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$, definit positif
Jadi, $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6 > 0$ selalu naik untuk semua x bilangan real
Contoh 4
Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$ tidak pernah naik untuk semua x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$
$f(x) = -3x^2 + 24x^2 - 48$
Pada $f(x) = -3x^2 + 24x^2 - 48$ diperoleh $a = -3 < 0$ dan
$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4(-3)(-48) = 576 - 576 = 0 $
Jadi, $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$ tidak pernah naik untuk semua x bilangan real
Contoh 5
Tentukan batas-batas nilai p, agar fungsi $f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}px^2 - /frac{1}{2}x^2 - 3x + 8$ selalu turun untuk semua nilai x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}px^2 - /frac{1}{2}x^2 - 3x + 8$
$f'(x) = -3x^2 + 2px - x - 3$
Agar selalu turun maka $f'(x) = -3x^2 + 2px - x - 3 < 0$ (definit negatif, $a < 0$ dan $D < 0$)
$a = -3 < 0$
$D < 0$
$b^2 - 4ac < 0$
$(2p - 1)^2 - 4(-3)(-3) < 0$
$4p^2 - 4p + 1 - 36 < 0$
$4p^2 - 4a - 35 < 0$
$(2p + 5)(2p - 7)< 0$
Sebelumnya, telah dibahas mengenai penggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung kurva. Dari sana diketahui bahwa turunan fungsi $y = f(x)$ atau $f'(x)$ merupakan gradien dari garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik $(x, f(x)).
Dari gambar di atas terlihat bahwa, fungsi naik dalam interval apabila garis singgungnya bernilai positif. dan fungsi turun apabila garis singgungnya bernilai negatif.
Dengan demikian mengetahui kapan fungsi naik ataupun turun, kita dapat menentukannya dengan menggunakan turunan dari fungsi tersebut. Suatu fungsi $f(x)$ dikatakan naik apabila memenuhi pertidaksamaan $f ′(x) > 0$. Sedangkan fungsi $f(x)$ dikatakan turun apabila memenuhi pertidaksamaan $f ′(x) < 0$. Fungsi $f'(x)$ merupakan turunan dari fungsi $f(x)$. Dengan menyelesaikan pertidaksamaan tersebut kita dapat menentukan interval suatu fungsi naik atau turun.
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal yang disertai pembahasan mengenai fungsi naik dan turun di bawah ini
Contoh 1
Tentukan dalam interval mana fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ naik dan turun!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 - 4x$
$f'(x) = 2x - 4$
Interval naik
$f'(x) > 0$
$2x - 4 > 0$
$2x > 4$
$x > 2$
Jadi, fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ naik dalam interval $x > 2$
Interval turun
$f'(x) < 0$
$2x - 4 < 0$
$2x < 4$
$x < 2$
Jadi, fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ turun dalam interval $x < 2$
Contoh 2
Tentukan dalam interval mana fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ naik dan turun!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 - 6x^2$
$f'(x) = 3x^2 - 12x$
Interval naik
$f'(x) > 0$
$3x^2 - 12x > 0$
$3x(x - 4) > 0$
Bentuk di atas merupakan bentuk penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Penyelesaian dari bentuk terakhir adalah
$x < 0$ atau $x > 4$
Jadi, fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ naik dalam interval $x < 0$ atau $x > 4$
Interval turun
$f'(x) < 0$
$3x^2 - 12x < 0$
$3x(x - 4 < 0$
$0 < x < 4$
Jadi, fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ turun dalam interval $0 < x < 4$
Untuk lebih jelasnya mengenai penyelesaian soal Contoh 2 perhatikan gambar berikut
Beberapa istilah yang berhubungan dengan fungsi naik dan fungsi turun harus dipahami di antaranya adalah sebagai berikut
Jika $f'(x) > 0$ untuk semua x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan selalu naik untuk semua bilangan real
Jika $f'(x) < 0$ untuk semua x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan selalu turun untuk semua bilangan real
Jika $f'(x) \geq 0$ untuk semua x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan tidak pernah turun untuk semua bilangan real
Jika $f'(x) \leq 0$ untuk semua x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan tidak pernah naik untuk semua bilangan real
Biasanya dalam penyelesaian soal kita dihadapkan pada $f'(x)$ dalam bentuk fungsi kuadrat, dimana kita dituntut untuk menunjukkan apakah fungsi tersebut selalu positif atau selalu negatif untuk semua bilangan real. Untuk itu, kita perlu mengingat kembali materi definit positif dan definit negatif. Definit positif dalam bahasa sederhannanya menunjukkan suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif untuk semua x bilangan real. Sedangkan defint negatif menunjukkan suatu fungsi selalu bernilai negatif untuk semua x bilangan real. Syarat suatu fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ dikatakan definit positif maupun negatif adalah sebagai berikut
Definit positif, maka $a > 0$ dan $D < 0$
Definit negatif, maka $a < 0$ dan $D < 0$
Dengan D adalah nilai diskriminan $(D = b^2 - 4ac)$
Pada kasus lain, jika ditemukan nilai diskriminan $D = 0$, maka ini akan menunjukkan bahwa fungsi tersebut tidak pernah naik ataupun tidak pernah turun. Jika $f'(x) = ax^2 + bx + c$ maka
$f(x)$ tidak pernah turun apabila $a > 0$ dan $D = 0$
$f(x)$ tidak pernah naik apabila $a < 0$ dan $D = 0$
Agar lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut
Contoh 3
Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 8$ selalu naik untuk semua x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 8$
$f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$
Pada $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$ diperoleh $a = 3 > 0$ dan
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(6) = 64 - 72 = 8 < 0$
Maka, $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$, definit positif
Jadi, $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6 > 0$ selalu naik untuk semua x bilangan real
Contoh 4
Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$ tidak pernah naik untuk semua x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$
$f(x) = -3x^2 + 24x^2 - 48$
Pada $f(x) = -3x^2 + 24x^2 - 48$ diperoleh $a = -3 < 0$ dan
$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4(-3)(-48) = 576 - 576 = 0 $
Jadi, $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$ tidak pernah naik untuk semua x bilangan real
Contoh 5
Tentukan batas-batas nilai p, agar fungsi $f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}px^2 - /frac{1}{2}x^2 - 3x + 8$ selalu turun untuk semua nilai x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}px^2 - /frac{1}{2}x^2 - 3x + 8$
$f'(x) = -3x^2 + 2px - x - 3$
Agar selalu turun maka $f'(x) = -3x^2 + 2px - x - 3 < 0$ (definit negatif, $a < 0$ dan $D < 0$)
$a = -3 < 0$
$D < 0$
$b^2 - 4ac < 0$
$(2p - 1)^2 - 4(-3)(-3) < 0$
$4p^2 - 4p + 1 - 36 < 0$
$4p^2 - 4a - 35 < 0$
$(2p + 5)(2p - 7)< 0$
Dengan menggunakan metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat diperoleh
$-\frac{5}{2}< p < \frac{7}{2}$
Jadi, batas-batas nilai p agar fungsi $f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}px^2 - /frac{1}{2}x^2 - 3x + 8$ selalu turun untuk semua nilai x bilangan real adalah $-\frac{5}{2}< p < \frac{7}{2}$.
Demikianlah, mengenai fungsi naik dan fungsi turun. Mengenai penggunaan materi turunan lainnya akan dibahas pada artikel lainnya. Semoga dapat dipahami dan bermanfaat.
