Aplikasi integral yang pada umumnya dipelajari adalah mengenai menghitung luas daerah yang dibatasi kurva serta menghitung volume benda putar. Pada artikel ini akan dibahas salah satunya yaitu mengenai aplikasi integral untuk menghitung volume benda putar yang disertai contoh soal volume benda putar dan pembahasannya. Namun sebelum membahasnya, ada materi prasyarat yang harus dipahami terlebih dahulu yaitu integral tentu. Karena, penyelesaian dari volume benda putar ini hampir sama dengan pembahasan integral tentu.
Misalkan suatu daerah pada bidang datar diputar satu putaran penuh (360$^o$) mengelilingi garis tertentu, maka terbentuklah benda pejal yang disebut dengan benda putar. Sedangkan, garis tertentu tersebut disebut dengan sumbu putar atau sumbu rotasi. Untuk menentukan volume benda putar tersebut kita bisa menggunakan konsep integral.
Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x), sumbu x, dan garis-garis x = a dan x = b. Jika daerah itu diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x, maka akan diperoleh sebuah benda putar yang volumenya dapat ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{a}^{b}y^2 dx$
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal volume benda putar berikut
Contoh 1
Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu x, x = 0, dan x = 3 diputar 360$^o$ mengelilingi sumbu x. Besar volume benda putar yang terjadi adalah ...
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x + 3)^2 dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x^2 + 6x + 3) dx$
V = 𝜋$[(\frac{1}{3}x^3+ 3x^2 + 3x)]_{0}^{3}$
V = 𝜋$[(\frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 3(2))$-$(\frac{1}{3}(0)^3 + 3(0)^2 + 3(0))]$
V = 𝜋$[(\frac{8}{3} + 12 + 6) - 0]$
V = 𝜋$[\frac{8}{3} + 18]$
V = $\frac{62}{3}$𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah $\frac{62}{3}$𝜋 satuan volume
Untuk menentukan volume benda putar yang mengelilingi sumbu y, caranya hampir sama dengan sumbu x. Mungkin perbedaanya terletak pada fungsi dan batas-batasnya saja. Jika, mengelilingi sumbuk fungsingya adalah y = f(x) maka jika mengelilingi sumbu y menjadi x = g(y). Batas-batasnya juga demikian jika pada sumbu x batas-batasnya x = a dan x = b, pada sumbu y batas-batasnya adalah y = c dan y = d. Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan berikut.
Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x = g(y), sumbu y, dan garis-garis y = c dan y = d diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y. Maka, akan diperoleh sebuah benda putar yang volumenya dapat ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{c}^{d}x^2 dy$
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal volume benda putar yang mengelilingi sumbu y berikut
Contoh 2
Hitunglah volume benda putar dari daerah yang dibatasi ole garis y = $\frac{1}{3}x$, sumbu y, y = 1 dan y = 2, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y!
Penyelesaian
Pertama kita ubah dulu persamaan y = $\frac{1}{3}x$ menjadi
x = 3y
V = 𝜋$\int_{1}^{2}(3y)^2 dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{2}9y^2 dy$
V = 𝜋$[\frac{9}{3}y^3] _{1}^{2}$
V = 𝜋$[3y^3] _{1}^{2}$
V = 𝜋$[3(2)^3-3(1)^3]$
V = 𝜋$[24-3]$
V = 21𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 21𝜋 satuan volume
Mengelilingi Sumbu x
Misalkan daerah yang dibatasi oleh kurva y$_1$ = f(x) dan y$_2$ = g(x) (|f(x)| ≥ |g(x)|), garis-garis x = a dan x = b diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x, maka besar volume benda putar yang terjadi dapat ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{a}^{b}(y_1^2 - y_2^2) dx$
Berikut adalah contoh penggunaanya
Contoh 3
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi garis y = x + 1, y = x, x = 2, dan x = 0 menglilingi sumbu x sejauh 360$^o$!
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{2}((x + 1)^2 - x^2) dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{2}(x^2 + 2x + 1 - x^2) dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{2}(2x + 1) dx$
V = 𝜋$[(x^2 + x)]_{0}^{2}$
V = 𝜋$(2^2 + 2) - (0^2 + 0)$
V = 𝜋(6 - 0)
V = 6𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 6𝜋 satuan volume
Mengelilingi Sumbu y
Misalkan daerah yang dibatasi oleh kurva x$_1$ = f(y) dan x$_2$ = g(y) (|f(y)| ≥ |g(y)|), garis-garis y = a dan y = b diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y, maka besar volume benda putar yang terjadi dapat ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{a}^{b}(x_1^2 - x_2^2) dy$
Berikut adalah contoh penggunaan rumus volume benda putar yang dibatasi dua kurva dan mengelilingi sumbu y
Contoh 4
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi garis y - x = 1, y = x, y = 1, dan y = 4 menglilingi sumbu y sejauh 360$^o$!
Penyelesaian
y - x = 1 ⟶ x = y - 1
V = 𝜋$\int_{1}^{4}((y - 1)^2 - y^2) dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{4}(y^2 - 2y + 1 - y^2) dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{4}( - 2y + 1) dy$
V = 𝜋$[(-y^2 + y)]_{1}^{4}$
V = 𝜋$[( -(4)^2 + 4) - ( -(1)^2 + 1)]$
V = 𝜋[-12 - 0]
V= -12𝜋
V = 12𝜋 (volume selalu bernilai positif)
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 12𝜋 satuan volume
Ada kalanya batas bawah dan batas atas dari volume tidak diketahui, hal ini berarti yang digunakan sebagai batas atas dan batas bawah adalah titik potong kedua kurva atau dengan sumbu yang dilalui oleh kurva. Untuk jelasnya perhatikan contoh soal volume benda putar dan pembahasannya berikut ini.
Contoh 5
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva parabola y = x$^2$ + 1 dan garis y = x + 3, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x!
Penyelesaian
Batas atas dan batas bawah dari integralnya adalah perpotongan dari kedua kurva yaitu
x$^2$ + 1 = x + 3
x$^2$ + 1 - x - 3 = 0
x$^2$ - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x + 3)^2$ $- (x^2 + 1)^2) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x^2 + 6x + 9)$ $- (x^4 + 2x^2 + 1)) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(x^2 + 6x + 9$ $- x^4 - 2x^2 - 1)) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(- x^4 - x^2 + 6x + 8) dx$
V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 8x)] _{-1}^{2}$
V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} (2)^5 - \frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 8(2))$ $-(\frac{-1}{5} (-1)^5 - \frac{1}{3}(-1)^3 + 3(-1)^2 + 8(-1)] $
V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 12 + 16)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} + 3 - 8)] $
V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 28)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} - 5)] $
V = 𝜋$[(\frac{-96}{15}- \frac{40}{15} + \frac{420}{15})$ $-(\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - \frac{75}{15})] $
V = 𝜋$[\frac{284}{15}+ \frac{67}{15})] $
V = 𝜋$\frac{351}{15} $
V = $\frac{117}{5} $𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah $\frac{117}{5} $𝜋 satuan volume
Dengan konsep volume benda putar ini pula kita dapat menemukan aplikasi integral lainnya yaitu dalam menentukan atau membuktikan rumus volume kerucut dan bola. Nah demikianlah mengenai menghitung volume benda puatr dengan integral semoga dapat dipahami dan bermanfaat.
Misalkan suatu daerah pada bidang datar diputar satu putaran penuh (360$^o$) mengelilingi garis tertentu, maka terbentuklah benda pejal yang disebut dengan benda putar. Sedangkan, garis tertentu tersebut disebut dengan sumbu putar atau sumbu rotasi. Untuk menentukan volume benda putar tersebut kita bisa menggunakan konsep integral.
Volume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu x
V = 𝜋$\int_{a}^{b}y^2 dx$
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal volume benda putar berikut
Contoh 1
Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu x, x = 0, dan x = 3 diputar 360$^o$ mengelilingi sumbu x. Besar volume benda putar yang terjadi adalah ...
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x + 3)^2 dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x^2 + 6x + 3) dx$
V = 𝜋$[(\frac{1}{3}x^3+ 3x^2 + 3x)]_{0}^{3}$
V = 𝜋$[(\frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 3(2))$-$(\frac{1}{3}(0)^3 + 3(0)^2 + 3(0))]$
V = 𝜋$[(\frac{8}{3} + 12 + 6) - 0]$
V = 𝜋$[\frac{8}{3} + 18]$
V = $\frac{62}{3}$𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah $\frac{62}{3}$𝜋 satuan volume
Volume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu y
Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x = g(y), sumbu y, dan garis-garis y = c dan y = d diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y. Maka, akan diperoleh sebuah benda putar yang volumenya dapat ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{c}^{d}x^2 dy$
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal volume benda putar yang mengelilingi sumbu y berikut
Contoh 2
Hitunglah volume benda putar dari daerah yang dibatasi ole garis y = $\frac{1}{3}x$, sumbu y, y = 1 dan y = 2, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y!
Penyelesaian
Pertama kita ubah dulu persamaan y = $\frac{1}{3}x$ menjadi
x = 3y
V = 𝜋$\int_{1}^{2}(3y)^2 dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{2}9y^2 dy$
V = 𝜋$[\frac{9}{3}y^3] _{1}^{2}$
V = 𝜋$[3y^3] _{1}^{2}$
V = 𝜋$[3(2)^3-3(1)^3]$
V = 𝜋$[24-3]$
V = 21𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 21𝜋 satuan volume
Volume Benda Putar Suatu Daerah antara Dua Kurva
Untuk volume benda putar dari suatu daerah yang dibatasi dua kurva dibagi menjadi dua pula yaitu yang mengelilingi sumbu x dan mengelilingi sumbu y.Mengelilingi Sumbu x
V = 𝜋$\int_{a}^{b}(y_1^2 - y_2^2) dx$
Berikut adalah contoh penggunaanya
Contoh 3
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi garis y = x + 1, y = x, x = 2, dan x = 0 menglilingi sumbu x sejauh 360$^o$!
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{2}((x + 1)^2 - x^2) dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{2}(x^2 + 2x + 1 - x^2) dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{2}(2x + 1) dx$
V = 𝜋$[(x^2 + x)]_{0}^{2}$
V = 𝜋$(2^2 + 2) - (0^2 + 0)$
V = 𝜋(6 - 0)
V = 6𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 6𝜋 satuan volume
Mengelilingi Sumbu y
V = 𝜋$\int_{a}^{b}(x_1^2 - x_2^2) dy$
Berikut adalah contoh penggunaan rumus volume benda putar yang dibatasi dua kurva dan mengelilingi sumbu y
Contoh 4
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi garis y - x = 1, y = x, y = 1, dan y = 4 menglilingi sumbu y sejauh 360$^o$!
Penyelesaian
y - x = 1 ⟶ x = y - 1
V = 𝜋$\int_{1}^{4}((y - 1)^2 - y^2) dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{4}(y^2 - 2y + 1 - y^2) dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{4}( - 2y + 1) dy$
V = 𝜋$[(-y^2 + y)]_{1}^{4}$
V = 𝜋$[( -(4)^2 + 4) - ( -(1)^2 + 1)]$
V = 𝜋[-12 - 0]
V= -12𝜋
V = 12𝜋 (volume selalu bernilai positif)
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 12𝜋 satuan volume
Ada kalanya batas bawah dan batas atas dari volume tidak diketahui, hal ini berarti yang digunakan sebagai batas atas dan batas bawah adalah titik potong kedua kurva atau dengan sumbu yang dilalui oleh kurva. Untuk jelasnya perhatikan contoh soal volume benda putar dan pembahasannya berikut ini.
Contoh 5
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva parabola y = x$^2$ + 1 dan garis y = x + 3, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x!
Penyelesaian
Batas atas dan batas bawah dari integralnya adalah perpotongan dari kedua kurva yaitu
x$^2$ + 1 = x + 3
x$^2$ + 1 - x - 3 = 0
x$^2$ - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x + 3)^2$ $- (x^2 + 1)^2) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x^2 + 6x + 9)$ $- (x^4 + 2x^2 + 1)) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(x^2 + 6x + 9$ $- x^4 - 2x^2 - 1)) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(- x^4 - x^2 + 6x + 8) dx$
V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 8x)] _{-1}^{2}$
V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} (2)^5 - \frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 8(2))$ $-(\frac{-1}{5} (-1)^5 - \frac{1}{3}(-1)^3 + 3(-1)^2 + 8(-1)] $
V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 12 + 16)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} + 3 - 8)] $
V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 28)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} - 5)] $
V = 𝜋$[(\frac{-96}{15}- \frac{40}{15} + \frac{420}{15})$ $-(\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - \frac{75}{15})] $
V = 𝜋$[\frac{284}{15}+ \frac{67}{15})] $
V = 𝜋$\frac{351}{15} $
V = $\frac{117}{5} $𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut adalah $\frac{117}{5} $𝜋 satuan volume
Dengan konsep volume benda putar ini pula kita dapat menemukan aplikasi integral lainnya yaitu dalam menentukan atau membuktikan rumus volume kerucut dan bola. Nah demikianlah mengenai menghitung volume benda puatr dengan integral semoga dapat dipahami dan bermanfaat.
