Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Cosinus, dan Tangen

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam bentuk sinus, kosinus, dan tangen dapat berbentuk sebagai berikut.

asin$^2$x$^o$ + bsin$^o$ + c = 0

acos$^2$x$^o$ + btan$^o$ + c = 0 

atan$^2$x$^o$ + btan$^o$ + c = 0

Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan kuadrat di atas, langkah pertama adalah dengan membuat pemisalan untuk perbandingan trigonometrinya. Kita misalkan saja dengan p, maka bentuk umum persmaan kuadrat di atas akan menjadi ap$^2$ + bp + c = 0 baik untuk sinus, cosinus maupun tangen. Kemudian kita tentukan nilai p yang memenuhi. Setelah didapat nilai p, kita kembalikan p menjadi perbendingan trigonometri dan kita akan memperoleh persamaan trigonometri sederhana. Terakhir kita selesaikan persmaan tersebut dengan cara yang dapat di baca pada artikel ini.

Namun, sebelum menentukan penyelesaian dari persmaan kuadrat di atas, ada syarat yang harus dipenuhi agar persamaan kuadrat di atas mempunyai penyelesaian. Untuk persamaan kuadrat dalam sinus dan cosinus, ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu

Sedangkan, untuk persamaan kuadrat dalam tangen, hanya memerlukan satu syarat yang harus dipenuhi yaitu

Syarat perlu, D ≥ 0

Dengan D adalah diskriminan yang nilainya dapat ditentukan dengan D = b$^2$ - 4ac

Sebagai contoh, apakah sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 mempunyai penyelesaian?
Penyelesaian
Misalkan sinx$^o$ = p, maka persamaanya dapat dtulis menjadi
p$^2$ + 7p + 12 = 0
D = b$^2$ - 4ac
D = 7$^2$ - 4(1)(12)
D = 49 - 48
D = 1 (D > 0, syarat perlu terpenuhi)

p$^2$ + 7p + 12 = 0

(p + 4)(p + 3) = 0

p + 4 = 0 atau p + 3 = 0

p = -4              p = -3

Nilai p < -1 (Syarat cukup tidak terpenuhi)
Maka, dapat disimpulkan jika persamaan sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 tidak mempunyai penyelesaian.

Jika telah memahami syarat tersebut, sekarang kita lanjutkan dengan contoh soal persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri yang dapat diselesaikan.
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos$^2$x$^o$ - cos$^o$ - 2 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!

Penyelesaian
Misalkan cosx$^o$ = p maka persamaanya dapat ditulis menjadi
p$^2$ - p - 2 = 0
(p + 1)(p - 2) = 0
p = -1 atau p = 2
Jika p = -1, maka
cosx$^o$ = -1
cosx$^o$ = cos 180$^o$
Untuk, x = 180$^o$ + k × 360$^o$
k = 0 → x = 180$^o$ + 0 × 360$^o$ = 180$^o$
Untuk, x = -180$^o$ + k × 360$^o$
k = 1 → x = -180$^o$ + 1 × 360$^o$ = 180$^o$

Jika p = -2, maka tidak memenuhi karena p < -1 (syarat cukup tidak terpenuhi)
Jadi, penyelesaiannya adalah {180$^o$}

Selain, bentuk-bentuk persamaan, seperti di atas ada beberapa kasus yang mengharuskan kita untuk mengubah  suatu persmaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persmaan kuadrat dalam sinus, cosinus, dan tangen. Untuk mempermudah mengubah persmaan yang demikian maka kita dapat menggunakan beberapa rumus trigonometri berikut.

1. sin x$^o$ =  $\frac{1}{cosec x^o}$
2. cos x$^o$ =  $\frac{1}{sec x^o}$
3. tan x$^o$ =  $\frac{1}{tan x^o}$
4. tan x$^o$ =  $\frac{sin x^o}{cos x^o}$
5. cot x$^o$ =  $\frac{cos x^o}{sin x^o}$
6. sin$^2$x$^o$ + cos$^2$x$^o$ = 1
7. 1 + tan$^2$ x$^o$ = sec$^2$ x$^o$
8. 1 +  cot$^2$ x$^o$ = cosec$^2$ x$^o$
9. sin 2x$^o$ = 2sin x$^o$cos x$^o$
10. cos 2x$^o$ = cos$^2$ x$^o$ - sin$^2$ x$^o$
11. cos 2x$^o$ = 1 - 2sin$^2$ x$^o$
12. cos 2x$^o$ = 2cos$^2$ x$^o$ - 1
13. tan 2x$^o$ = $\frac{2tan x^o}{1 - tan^2 x^o}$

Untuk lebih jelasnya, berikut akan disajikan contoh soal persamaan trigonometri beserta penyelesaiannya

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!

Penyelesaian
cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0
1 - 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0
- 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ = 0
- sin x$^o$ (2sin x$^o$ + 3) = 0
(tidak dilakukan pemisalan p, karena persamaan sudah sederhana)
-sin x$^o$ = 0 atau  2sin x$^o$ + 3 = 0

sin x$^o$ = 0            sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$
Jika, sin x$^o$ = 0 maka sin x$^o$ = 0$^o$
Untuk, x = 0$^o$ + k × 360$^o$
k = 0 → x = 0$^o$ + 0 × 360$^o$ = 0$^o$
k = 1  → x = 0$^o$ + 1 × 360$^o$ = 360$^o$
Untuk, x = (180$^o$ - 0$^o$) + k × 360$^o$
k = 0 → x =(180$^o$ - 0$^o$) + 0 × 360$^o$ = 180$^o$
Jika sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$, persamaan tidak mempunyai penyelesaian karena sin x$^o$ < -1
Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {0$^o$, 180$^o$, 360$^o$}

Contoh 3
Tentukan Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 2𝞹!

Penyelesaian
2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - (1 - 2sin$^2$ x$^o$) = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - cos$^2$ 2x$^o$ = 0
cos 2x$^o$(2cos 2x$^o$ - 1) = 0
cos 2x$^o$ = 0 atau cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$
Jika cos 2x$^o$ = 0 maka cos 2x$^o$ = $\frac{𝞹}{2}$
Untuk 2x = $\frac{𝞹}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = $\frac{𝞹}{4}$ + k × 𝞹
k = 0 → x = $\frac{𝞹}{4}$ + 0 × 𝞹 = $\frac{𝞹}{4}$
k = 1  → x = $\frac{𝞹}{4}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{5𝞹}{4}$
Untuk 2x = -$\frac{𝞹}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = -$\frac{𝞹}{4}$ + k × 𝞹
k = 1 → x = -$\frac{𝞹}{4}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{3𝞹}{4}$
k = 2  → x = -$\frac{𝞹}{4}$ + 2 × 𝞹 = $\frac{7𝞹}{4}$

Jika cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$ maka cos 2x$^o$ = $\frac{𝞹}{3}$
Untuk 2x = $\frac{𝞹}{3}$ + k × 2𝞹 atau x = $\frac{𝞹}{6}$ + k × 𝞹
k = 0 → x = $\frac{𝞹}{6}$ + 0 × 𝞹 = $\frac{𝞹}{6}$
k = 1  → x = $\frac{𝞹}{6}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{7𝞹}{6}$
Untuk 2x = -$\frac{𝞹}{3}$ + k × 2𝞹 atau x = -$\frac{𝞹}{6}$ + k × 𝞹
k = 1 → x = -$\frac{𝞹}{6}$ + 1 × 𝞹 = $\frac{5𝞹}{6}$
k = 2  → x = -$\frac{𝞹}{6}$ + 2 × 𝞹 = $\frac{11𝞹}{6}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{𝞹}{6}$, $\frac{𝞹}{4}$, $\frac{3𝞹}{4}$, $\frac{5𝞹}{6}$, $\frac{7𝞹}{6}$, $\frac{5𝞹}{4}$, $\frac{7𝞹}{4}$, $\frac{11𝞹}{6}$}

Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tan x$^o$ + cot x$^o$ = -2 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!