Sebelum mempelajari proyeki suatu ortogonal suatu vektor pada vektor lain, ada baiknya kita mengingat kembali mengenai perkalian skalar dua vektor. Hal ini sangat penting karena materi yang akan dibahas kali ini merupakan aplikasi dari materi perkalian skalar dua vektor.
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{10}{5}$
Dalam beberapa soal, tidak usah bingung suatu vektor dapat dinyatakan dalam vektor baris, vektor kolom maupun vektor satuan. Pada dasarnya bagaimanapun vektor itu dituliskan cara penyelesaianya adalah sama.
Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat ditentukan
Proyeksi Skalar Ortogonal
Proyeksi skalar ortogonal sering disingkat dengan proyeksi skalar atau dapat dikatakan sebagai panjang proyeksi vektor. Misalkan terdapat vektor $\overrightarrow{a}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$, proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ adalah |$\overrightarrow{c}$|, dengan |$\overrightarrow{c}$| dapat ditentukan dengan rumus:
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasan proyeksi skalar ortogonal berikut.
Contoh 1
Diketahui vektor $\overrightarrow{a}$ = $\begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}$ = $ \begin{pmatrix}
3 \\ 4
\end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor di R2 yang disajikan dalam bentuk kolom. Tentukan proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ serta proyeksi skalar vektor $\overrightarrow{b}$ pada arah vektor $\overrightarrow{a}$!
2 \\ 1
\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}$ = $ \begin{pmatrix}
3 \\ 4
\end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor di R2 yang disajikan dalam bentuk kolom. Tentukan proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ serta proyeksi skalar vektor $\overrightarrow{b}$ pada arah vektor $\overrightarrow{a}$!
Penyelesaian:
Proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{2\times3 + 1\times4}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{6 + 4}{\sqrt{9 + 16}}$|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{10}{5}$
|$\overrightarrow{c}$| = $2$
Proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{b}$ pada arah vektor $\overrightarrow{a}$ (kita sebut dengan |$\overrightarrow{d}$|)
|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{b}|}$
|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{2\times3 + 1\times4}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$
|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{6 + 4}{\sqrt{4 + 1}}$
|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{10}{\sqrt{5}}$
|$\overrightarrow{d}$| = $2\sqrt{5}$ (dirasionalkan)
Contoh 2
Diketahui vektor $\overrightarrow{a}$ = $\begin{pmatrix}
2\\ -6
\\ -3
\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}$ = $\begin{pmatrix}
2\\ 1
\\ -2
\end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor di R3 yang disajikan dalam bentuk kolom. Tentukan proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$!
2\\ -6
\\ -3
\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}$ = $\begin{pmatrix}
2\\ 1
\\ -2
\end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor di R3 yang disajikan dalam bentuk kolom. Tentukan proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$!
Penyelesaian
Proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{2\times2 + (-6)\times1 + (-3)\times(-2)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{4 - 6 + 6}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{4}{\sqrt{9}}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{4}{3}$
Proyeksi Vektor Ortogonal
Proyeksi vektor ortogonal ortogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ adalah |$\overrightarrow{c}$|, dengan |$\overrightarrow{c}$| dapat ditentukan dengan rumus:
$\overrightarrow{c}$ = $\left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}\right) \overrightarrow{b}$
Agar lebih memahaminya berikut akan disajikan contoh soal beserta pembahasanya
Agar lebih memahaminya berikut akan disajikan contoh soal beserta pembahasanya
Contoh 3
Diketahui vektor $\overrightarrow{a}$ = 2$\overrightarrow{i}$ - 3$\overrightarrow{j}$ + 6$\overrightarrow{k}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 2$\overrightarrow{j}$ + $\overrightarrow{k}$. Tentukan proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{a}$ pada $\overrightarrow{b}$!
Penyelesaian
$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ = $2\times2 + (-3)\times2 + 6\times1$ = $4$
|$\overrightarrow{b}$|$^2$ = $(\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2})^2$ =$9$
$\overrightarrow{c}$ = $\left(\frac{\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}\right) \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{c}$ = $\frac{4}{9} (2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k})$
$\overrightarrow{c}$ = $ (\frac{8}{9}\overrightarrow{i} + \frac{8}{9}\overrightarrow{j} + \frac{4}{9}\overrightarrow{k})$
Dalam beberapa soal, tidak usah bingung suatu vektor dapat dinyatakan dalam vektor baris, vektor kolom maupun vektor satuan. Pada dasarnya bagaimanapun vektor itu dituliskan cara penyelesaianya adalah sama.
Contoh 4
Diketahui titik-titik A(1, 2, 2), B(0, 1, 0), dan C(2, -1, -1). Tentukan proyeksi vektor ortogonal dari $\overrightarrow{AB}$ pada $\overrightarrow{AC}$
Penyelesaian
$\overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix}
0 - 1\\ 1 - 2
\\ 0 - 2
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-1\\ -1
\\ -2
\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}$ = $\begin{pmatrix}
2 - 1\\ -1 - 2
\\ -1- 2
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
1\\ -3
\\ -3
\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ = $(-1)\times1 + (-1)\times(-3) + (-2)\times(-3)$ = $8$
|$\overrightarrow{b}$|$^2$ = $(\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-3)^2})^2$ =$19$
proyeksi vektor ortogonal dari $\overrightarrow{AB}$ pada $\overrightarrow{AC}$ adalah
$\overrightarrow{c}$ = $\left(\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|^2}\right) \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{c}$ = $\frac{8}{19} \begin{pmatrix}
1\\ -3
\\ -3
\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix}
0 - 1\\ 1 - 2
\\ 0 - 2
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-1\\ -1
\\ -2
\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}$ = $\begin{pmatrix}
2 - 1\\ -1 - 2
\\ -1- 2
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
1\\ -3
\\ -3
\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ = $(-1)\times1 + (-1)\times(-3) + (-2)\times(-3)$ = $8$
|$\overrightarrow{b}$|$^2$ = $(\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-3)^2})^2$ =$19$
proyeksi vektor ortogonal dari $\overrightarrow{AB}$ pada $\overrightarrow{AC}$ adalah
$\overrightarrow{c}$ = $\left(\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|^2}\right) \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{c}$ = $\frac{8}{19} \begin{pmatrix}
1\\ -3
\\ -3
\end{pmatrix}$
Demikianlah mengenai proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain semoga dapat dipahami dan bermanfaat.
