Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponensial dengan Bilangan Pokok dan Eksponen yang Berbeda

Dalam persamaan eksponensial dikenal beberapa bentuk persamaan berdasarkan bilangan pokok (basis) serta eksponen (pangkat) dari masing-masing ruas (ruas kanan dan ruas kiri). Yang menarik dari beberapa jenis persamaan eksponen tersebut adalah persamaan eksponen yang memiliki bilangan pokok dan eksponen yang berbeda dari kedua ruas dimana bilangan pokok dan eksponennya juga dapat berupa fungsi. Nah, bagaimana menyelesaikan persamaan eksponensial jika bentuknya demikian?

Persamaan eksponensial seperti yang disebutkan di atas dapat digambarkan bentuknya menjadi a^f(x) = b^g(x). Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial yang bentuknya demikian. Kita harus mengingat kembali bentuk a⁰ = 1. Dalam hal ini kita menganggap bahwa hasil perpangkatan dari masing-masing ruas sama dengan 1 dengan kata lain a^f(x) = 1 dan b^g(x) = 1. Sehingga f(x) dan g(x) haruslah sama dengan 0 (nol) (f(x) = 0 dan g(x) = 0). Oleh karena f(x) = 0 dan g(x) = 0 maka kedua fungsi masing-masing akan memiliki penyelesaian. Lantas? mana yang memenuhi persamaan eksponensial tersebut? apakah keduanya? atau salah satu saja? Jawabanya adalah tentunya penyelesaian yang memenuhi kedua bentuk f(x) = 0 maupun g(x) = 0. Dengan kata lain jika f(x) = 0 dan g(x) = 0 memiliki penyelesaian yang sama maka itulah penyelesaian dari persamaan eksponensial yang berbentuk a^f(x) = b^g(x). Bagaimana jika penyelesaianya tidak ada yang memenuhi atau sama? Nah,

Jika tidak ada penyelesaian yang memenuhi setelah kita mencarinya dengan metode di atas. Selanjutnya, kita dapat menentukan penyelesaiannya dengan menarik logaritma dari kedua ruas. Dengan demikian, untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponensial yang berbentuk a^f(x) = b^g(x) dapat dilakukan dengan cara berikut.

1. Ambil f(x) = 0 dan g(x) = 0. Jika cara ini tidak menghasilkan nilai x yang memenuhi, maka dilanjutkan dengan cara 2
2. Kedua ruas ditarik logaritma log a^f(x) = log b^g(x)

Agar lebih memahami cara menyelesaikan persamaan eksponensial dengan bilangan pokok dan eksponen yang berbeda atau persamaan eksponensial yang berbentuk a^f(x) = b^g(x) perhatikan contoh berikut.

Contoh 1
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial 3^x+2 = 5^{x2 + x - 2}
Penyelesaian
6^x+2 = 5^{x2 + x - 2}
Cara 1
x + 2 = 0
x = -2

x² + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
x = -2 atau x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah -2

Contoh 2
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial 7^x+1 = 2^{3x - 2}
Penyelesaian
Jika kita menggunakan langkah 1 maka tidak ada nilai x yang memenuhi, maka kita lanjutkan dengan cara 2
log7^x+1 = log2^{3x - 2}
(x + 1)log7 = (3x - 2)log2
xlog7 + log 7 = 3xlog2 - 2log2
xlog7 + log 7 = xlog2³ - log2²
xlog7 + log 7 = xlog8 - log4
xlog7 - xlog8 = -log4 - log7
x(log7 - log8) = -(log4 + 7)
x log7/8= -log28
xlog(7/8) = log(1/28)
x = log(1/28)/log(7/8)
x = ^(7/8)log(1/28)
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah ^(7/8)log(1/28)

Dengan cara yang lain kita juga dapat menyelesaikan soal contoh 2
7^x+1 = 2^{3x - 2}
7^x . 7 = 2^3x/4
7^x . 7 = 8^x/4
7^x/8^x = 1/28
(7/8)^x = 1/28
x = ^(7/8)log(1/28)

Demikianlah tadi mengenai cara menyelesaikan persamaan eksponensial dengan bilangan pokok dan eksponen yang berbeda atau persamaan eksponensial yang berbentuk a^f(x) = b^g(x) . Semoga bermanfaat.