Seperti yang telah dijelaskan pada artikel sebelumnya, persamaan parabola dapat ditentukan dengan mengetahui titik puncaknya. Titik puncaknya dapat berada pada titik O(0, 0) atau sembarang titik lainnya, misalkan titik A(a, b). Untuk persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) dapat dipelajari pada artikel
[Baca: Persamaan Parabola dengan Puncak di O(0, 0)]
Sedangkan artikel kali ini akan membahas mengenai persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b)
Perhatikan gambar berikut
Gambar di atas, merupakan gambar parabola dengan puncak di A (a, b). Sumbu simetri dari parabola tersebut sejajar dengan sumbu-x yang persamaanya y = b. Titik fokus (focus) dari parabola di atas berjarak p satuan dari kanan titik puncak dengan demikian koordinat fokus F menjadi (a + p, b). Sedangkan garis direktriks (directrix) sejajar sumbu-y dan berjarak p satuan di sebelah kiri titik puncak dengan persamaan x = a - p atau x - a + p = 0. Persamaan parabola di atas dapat ditentukan dengan cara berikut.
Misalkan, titik P(x, y) merupaksn titik yang dilalui oleh suatu parabola maka
Jarak PF = Jarak PQ
$\sqrt{(x - a - p)^2 + (y - b)^2}$ = $|x - a + p|$
$\sqrt{(x - a - p)^2 + (y - b)^2}^2$ = $(x - a + p)^2$
$(x - a - p)^2 + (y - b)^2$ = $(x - a + p)^2$
$x^2 + a^2 + p^2$ $-2xa -2xp + 2ap$ $+ (y - b)^2$ = $x^2 + a^2 + p^2$ $-2xa +2xp - 2ap$
$-2xp + 2ap$ $+ (y - b)^2$ = $2xp - 2ap$
$(y - b)^2$ = $2xp - 2ap$ $+2xp - 2ap$
$(y - b)^2$ = $4xp - 4ap$
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
Persamaaan terakhir merupakan persamaan parabola yang dicari. Dengan cara yang sama, kita dapat juga menentukan persamaan parabola lainnya. Dengan demikian, berdasarkan arah terbukanya, kita dapat membedakan persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b) menjadi empat, diantaranya:
Parabola horisontal (mendatar) yang terbuka ke kanan
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
Sumbu simetri parabola di atas y = b, titik fokus F(a + p, b), dan persamaan direktriksnya adalah x = a - p
Parabola horisontal yang terbuka ke kiri
$(y - b)^2$ = $-4p(x - a)$
Sumbu simetri parabola di atas y = b, titik fokus F(a - p, b), dan persamaan direktriksnya adalah x = a + p
Parabola vertikal (tegak) yang terbuka ke atas
$(x - a)^2$ = $4p(y - b)$
Sumbu simetri parabola di atas x = a, titik fokus F(a, b + p), dan persamaan direktriksnya adalah y = b - p
Parabola vertikal yang terbuka ke bawah
$(x - a)^2$ = $-4p(y - b)$
Sumbu simetri parabola di atas x = a, titik fokus F(a, b - p), dan persamaan direktriksnya adalah y = b + p
Perlu diingat bahwa pada tiap persamaan nilai p adalah positif dan p merupakan jarak fokus dengan titik puncak parabola. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut
Contoh 1
Diketahui persamaan parabola $y^2 - 4y - 4x + 8$ = $0$, tentukan koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, koordinat fokus dan persamaan direktriksnya!
Penyelesaian
Agar memudahkan menentukan unsur-unsur yang dicari, maka kita ubah persamaan parabola yang diketahui menjadi persamaan bakunya.
$y^2 - 4y$ = $- 4x + 8$
$y^2 - 4y + 4$ = $-4x + 8 + 4$
$(y - 2)^2$ = $-4x + 12$
$(y - 2)^2$ = $-4(x - 3)$
$(y - 2)^2$ = $-4(1)(x - 3)$
Dari persamaan terakhir, terlihat bahwa parabola merupakan parabola horisontal yang terbuka ke kiri dengan p = 1
Titik puncaknya A(3, 2)
Persamaan sumbu simetri y = 2 (sejajar sumbu-x)
Koordinat fokus F(a - p, b) = F(3 - 1, 2) = F(2, 2)
Persamaan direktriksnya x = a + p = 3 + 1 = 4 atau x = 4 (sejajar sumbu-y)
Contoh 2
Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak di (2, 4) dan fokus di (5, 4)
Penyelesaian
A(2, 4)
F(5, 4) ini berarti p = 5 - 2 = 3
Persamaan para bola, merupakan parabola horisontal terbuka ke kanan. Sehingga
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
$(y - 4)^2$ = $4(3)(x - 2)$
$(y - 4)^2$ = $12(x - 2)$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $(y - 4)^2$ = $12(x - 2)$
Contoh 3
Tentukan persmaan parabola yang berpuncak di (2, -3) dan melalui titik (0, -5) dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y!
Penyelesaian
Parabola berpuncak di (2, -3) dan melalui titik (0, -5) dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y, ini berarti parabola merupakan parabola vertikal terbuka ke bawah
$(x - a)^2$ = $-4p(y - b)$
$(x - 2)^2$ = $-4p(y - (-3))$
$(x - 2)^2$ = $-4p(y + 3)$
Parabola melalui titik (0, -5) maka diperoleh
$(0 - 2)^2$ = $-4p(-5 + 3)$
$4$ = $-4p(-2)$
$4$ = $8p$
$p$ = $\frac{4}{8}$
$p$ = $\frac{1}{2}$
Sehingga persamaan parabolanya
$(x - 2)^2$ = $-4\frac{1}{2}(y + 3)$
$(x - 2)^2$ = $-2(y + 3)$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $(x - 2)^2$ = $-2(y + 3)$
Demikianlah mengenai persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b). Semoga bermanfaat
[Baca: Persamaan Parabola dengan Puncak di O(0, 0)]
Sedangkan artikel kali ini akan membahas mengenai persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b)
Perhatikan gambar berikut
Gambar di atas, merupakan gambar parabola dengan puncak di A (a, b). Sumbu simetri dari parabola tersebut sejajar dengan sumbu-x yang persamaanya y = b. Titik fokus (focus) dari parabola di atas berjarak p satuan dari kanan titik puncak dengan demikian koordinat fokus F menjadi (a + p, b). Sedangkan garis direktriks (directrix) sejajar sumbu-y dan berjarak p satuan di sebelah kiri titik puncak dengan persamaan x = a - p atau x - a + p = 0. Persamaan parabola di atas dapat ditentukan dengan cara berikut.
Misalkan, titik P(x, y) merupaksn titik yang dilalui oleh suatu parabola maka
Jarak PF = Jarak PQ
$\sqrt{(x - a - p)^2 + (y - b)^2}$ = $|x - a + p|$
$\sqrt{(x - a - p)^2 + (y - b)^2}^2$ = $(x - a + p)^2$
$(x - a - p)^2 + (y - b)^2$ = $(x - a + p)^2$
$x^2 + a^2 + p^2$ $-2xa -2xp + 2ap$ $+ (y - b)^2$ = $x^2 + a^2 + p^2$ $-2xa +2xp - 2ap$
$-2xp + 2ap$ $+ (y - b)^2$ = $2xp - 2ap$
$(y - b)^2$ = $2xp - 2ap$ $+2xp - 2ap$
$(y - b)^2$ = $4xp - 4ap$
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
Persamaaan terakhir merupakan persamaan parabola yang dicari. Dengan cara yang sama, kita dapat juga menentukan persamaan parabola lainnya. Dengan demikian, berdasarkan arah terbukanya, kita dapat membedakan persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b) menjadi empat, diantaranya:
Parabola horisontal (mendatar) yang terbuka ke kanan
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
Sumbu simetri parabola di atas y = b, titik fokus F(a + p, b), dan persamaan direktriksnya adalah x = a - p
Parabola horisontal yang terbuka ke kiri
$(y - b)^2$ = $-4p(x - a)$
Sumbu simetri parabola di atas y = b, titik fokus F(a - p, b), dan persamaan direktriksnya adalah x = a + p
Parabola vertikal (tegak) yang terbuka ke atas
$(x - a)^2$ = $4p(y - b)$
Sumbu simetri parabola di atas x = a, titik fokus F(a, b + p), dan persamaan direktriksnya adalah y = b - p
Parabola vertikal yang terbuka ke bawah
$(x - a)^2$ = $-4p(y - b)$
Sumbu simetri parabola di atas x = a, titik fokus F(a, b - p), dan persamaan direktriksnya adalah y = b + p
Perlu diingat bahwa pada tiap persamaan nilai p adalah positif dan p merupakan jarak fokus dengan titik puncak parabola. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut
Contoh 1
Diketahui persamaan parabola $y^2 - 4y - 4x + 8$ = $0$, tentukan koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, koordinat fokus dan persamaan direktriksnya!
Penyelesaian
Agar memudahkan menentukan unsur-unsur yang dicari, maka kita ubah persamaan parabola yang diketahui menjadi persamaan bakunya.
$y^2 - 4y$ = $- 4x + 8$
$y^2 - 4y + 4$ = $-4x + 8 + 4$
$(y - 2)^2$ = $-4x + 12$
$(y - 2)^2$ = $-4(x - 3)$
$(y - 2)^2$ = $-4(1)(x - 3)$
Dari persamaan terakhir, terlihat bahwa parabola merupakan parabola horisontal yang terbuka ke kiri dengan p = 1
Titik puncaknya A(3, 2)
Persamaan sumbu simetri y = 2 (sejajar sumbu-x)
Koordinat fokus F(a - p, b) = F(3 - 1, 2) = F(2, 2)
Persamaan direktriksnya x = a + p = 3 + 1 = 4 atau x = 4 (sejajar sumbu-y)
Contoh 2
Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak di (2, 4) dan fokus di (5, 4)
Penyelesaian
A(2, 4)
F(5, 4) ini berarti p = 5 - 2 = 3
Persamaan para bola, merupakan parabola horisontal terbuka ke kanan. Sehingga
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
$(y - 4)^2$ = $4(3)(x - 2)$
$(y - 4)^2$ = $12(x - 2)$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $(y - 4)^2$ = $12(x - 2)$
Contoh 3
Tentukan persmaan parabola yang berpuncak di (2, -3) dan melalui titik (0, -5) dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y!
Penyelesaian
Parabola berpuncak di (2, -3) dan melalui titik (0, -5) dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y, ini berarti parabola merupakan parabola vertikal terbuka ke bawah
$(x - a)^2$ = $-4p(y - b)$
$(x - 2)^2$ = $-4p(y - (-3))$
$(x - 2)^2$ = $-4p(y + 3)$
Parabola melalui titik (0, -5) maka diperoleh
$(0 - 2)^2$ = $-4p(-5 + 3)$
$4$ = $-4p(-2)$
$4$ = $8p$
$p$ = $\frac{4}{8}$
$p$ = $\frac{1}{2}$
Sehingga persamaan parabolanya
$(x - 2)^2$ = $-4\frac{1}{2}(y + 3)$
$(x - 2)^2$ = $-2(y + 3)$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $(x - 2)^2$ = $-2(y + 3)$
Demikianlah mengenai persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b). Semoga bermanfaat
