Istilah parabola sudah tidak asing lagi ditelinga kita. Masyarakat umum mungkin lebih mengenal parabola sebagai sebuah antena. Antena parabola sebenarnya merupakan antena yang berbentuk parabola. dan parabola sendiri dalam matematika dikenal sebagai tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu. Titik tertentu itu disebut titik api atau titik fokus (focus) dan garis tertentu itu disebut garis arah atau direktriks (directrix) dari suatu parabola. Berikut adalah contoh gambar parabola
Dari gambar di atas garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus direktriks g disebut sumbu simetri parabola. Sumbu simetri memotong para bola pada puncaknya. Sedangkan garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus sumbu simetri dan memotong parabola pada dua titik disebut dengan latus rectum
Berdasarkan titik puncaknya parabola dapat dibedakan menjadi dua yaitu parabola dengan puncak di O (0, 0) dan para bola dengan pusat di A (a, b). Pada bahasan kali ini akan dibahas mengenai parabola dengan titik puncak di O (0, 0) saja.
Parabola di atas merupakan parabola dengan titik puncak di O(0, 0) dengan sumbu simetri berimpit dengan sumbu x. Fokus parabola berada pada titik F(p, 0) dan persamaan direktriksnya adalah x = -p. Misalkan titik P(x, y) merupakan sembarag titik yang berada pada para bola. Maka, berdasarkan definisi parabola berlaku
Jarak PF = jarak PM
Jarak PF = $\sqrt{(x - p)^2 + (y - 0)^2}$ = $\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$
Jarak PM = |x + p|
Sehinga diperoleh
$\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$ = |x + p|
$(\sqrt{(x - p)^2 + y^2})^2$ = $(x + p)^2$
$((x - p)^2 + y^2)^2$ = $x^2 + 2px + p^2$
$x^2 - 2px + p^2 + y^2$ = $x^2 + 2px + p^2$
$y^2$ = $4px$
Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus di F(p, 0) adalah
$y^2$ = $4px$
Persamaan parabola di atas, membentuk parabola mendatar (horisontal) yang terbuka ke kanan.
Dengan cara yang sama kita juga dapat menentukan persamaan parabola lainnya diantaranya
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus di F(-p, 0)
$y^2$ = $-4px$
Persamaan parabola ini jika digambarkan, maka akan terbentuk parabola mendatar (parabola horisontal) yang terbuka ke kiri
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus F(0, p)
$x^2$ = $4py$
Persamaan parabola ini jika digambarkan, maka akan terbentuk parabola tegak (parabola vertikal) yang terbuka ke atas
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus F(0, -p)
$x^2$ = $-4py$
Persamaan parabola ini jika digambarkan, maka akan terbentuk parabola tegak (parabola vertikal) yang terbuka ke bawah
Keempat parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut
Pada tiap persamaan di atas nilai p positif yang menyatakan jarak antara fokus dengan puncak parabola. Agar lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut
Contoh 1
Tentukan koordinat fokus, persamaan direktriks, persamaan sumbu simetri, serta panjang latus rectum dari persamaan parabola berikut
a. $y^2$ = $8x$
b. $x^2$ = $-16y$
Penyelesaian
a. $y^2$ = $8x$ atau $y^2$ = $4(2)x$
Diperoleh p = 2. Parabola dengan persamaan $y^2$ = $8x$ merupakan parabola mendatar dan terbuka ke kanan
Fokus di F(2, 0)
Persamaan direktriks adalah x = -2
Persamaan sumbu simetri adalah sumbu x atau y = 0
Untuk menentukan panjang latus rectumnya maka kita perlu menentukan titik ujung-ujungnya yang berpotongan dengan parabola. Karena latus rectum melalui fokus maka kita dapat mensubstitusikan nilai x = 2 pada persamaannya
$y^2$ = $8(2)$
$y^2$ = $16$
$y$ = $\pm4$
Dengan demikian koordinat titik ujung-ujungya (2, 4) dan (2, -4)
Jadi, latus rectumnya = 4 - (-4) = 8 (jarak ujung-ujungnya)
b. $x^2$ = $-16y$ atau $x^2$ = $-4(4)y$
Diperoleh p = 4. Parabola dengan persamaan $x^2$ = $-16y$ merupakan parabola vertikal dan terbuka ke bawah
Fokus di F(0, -4)
Persamaan direktriks adalah x = 4
Persamaan sumbu simetri adalah sumbu y atau x = 0
Substitusikan nilai y = -4 pada persamaannya
$x^2$ = $-16(-4)$
$x^2$ = $64$
$x$ = $\pm8$
Dengan demikian koordinat titik ujung-ujungya (8, -4) dan (-8, -4)
Jadi, latus rectumnya = 8 - (-8) = 16
Contoh 2
Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) dengan fokus F(-3, 0)!
Penyelesaian
Karena fokusnya di F(-3, 0), maka p = 3 dan merupakan parabola horisontal yang terbuka ke kiri
$y^2$ = $-4px$
$y^2$ = $-4(3)x$
$y^2$ = $-12x$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $y^2$ = $-12x$
Berdasarkan titik puncaknya parabola dapat dibedakan menjadi dua yaitu parabola dengan puncak di O (0, 0) dan para bola dengan pusat di A (a, b). Pada bahasan kali ini akan dibahas mengenai parabola dengan titik puncak di O (0, 0) saja.
Persamaan Parabola dengan titik Puncak di O (0, 0)
Perhatikan gambar berikut!
Jarak PF = jarak PM
Jarak PF = $\sqrt{(x - p)^2 + (y - 0)^2}$ = $\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$
Jarak PM = |x + p|
Sehinga diperoleh
$\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$ = |x + p|
$(\sqrt{(x - p)^2 + y^2})^2$ = $(x + p)^2$
$((x - p)^2 + y^2)^2$ = $x^2 + 2px + p^2$
$x^2 - 2px + p^2 + y^2$ = $x^2 + 2px + p^2$
$y^2$ = $4px$
Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus di F(p, 0) adalah
$y^2$ = $4px$
Persamaan parabola di atas, membentuk parabola mendatar (horisontal) yang terbuka ke kanan.
Dengan cara yang sama kita juga dapat menentukan persamaan parabola lainnya diantaranya
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus di F(-p, 0)
$y^2$ = $-4px$
Persamaan parabola ini jika digambarkan, maka akan terbentuk parabola mendatar (parabola horisontal) yang terbuka ke kiri
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus F(0, p)
$x^2$ = $4py$
Persamaan parabola ini jika digambarkan, maka akan terbentuk parabola tegak (parabola vertikal) yang terbuka ke atas
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan fokus F(0, -p)
$x^2$ = $-4py$
Persamaan parabola ini jika digambarkan, maka akan terbentuk parabola tegak (parabola vertikal) yang terbuka ke bawah
Keempat parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut
Contoh 1
Tentukan koordinat fokus, persamaan direktriks, persamaan sumbu simetri, serta panjang latus rectum dari persamaan parabola berikut
a. $y^2$ = $8x$
b. $x^2$ = $-16y$
Penyelesaian
a. $y^2$ = $8x$ atau $y^2$ = $4(2)x$
Diperoleh p = 2. Parabola dengan persamaan $y^2$ = $8x$ merupakan parabola mendatar dan terbuka ke kanan
Fokus di F(2, 0)
Persamaan direktriks adalah x = -2
Persamaan sumbu simetri adalah sumbu x atau y = 0
Untuk menentukan panjang latus rectumnya maka kita perlu menentukan titik ujung-ujungnya yang berpotongan dengan parabola. Karena latus rectum melalui fokus maka kita dapat mensubstitusikan nilai x = 2 pada persamaannya
$y^2$ = $8(2)$
$y^2$ = $16$
$y$ = $\pm4$
Dengan demikian koordinat titik ujung-ujungya (2, 4) dan (2, -4)
Jadi, latus rectumnya = 4 - (-4) = 8 (jarak ujung-ujungnya)
b. $x^2$ = $-16y$ atau $x^2$ = $-4(4)y$
Diperoleh p = 4. Parabola dengan persamaan $x^2$ = $-16y$ merupakan parabola vertikal dan terbuka ke bawah
Fokus di F(0, -4)
Persamaan direktriks adalah x = 4
Persamaan sumbu simetri adalah sumbu y atau x = 0
Substitusikan nilai y = -4 pada persamaannya
$x^2$ = $-16(-4)$
$x^2$ = $64$
$x$ = $\pm8$
Dengan demikian koordinat titik ujung-ujungya (8, -4) dan (-8, -4)
Jadi, latus rectumnya = 8 - (-8) = 16
Contoh 2
Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) dengan fokus F(-3, 0)!
Penyelesaian
Karena fokusnya di F(-3, 0), maka p = 3 dan merupakan parabola horisontal yang terbuka ke kiri
$y^2$ = $-4px$
$y^2$ = $-4(3)x$
$y^2$ = $-12x$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $y^2$ = $-12x$
Contoh 3
Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) dengan fokus pada sumbu Y dan melalui titik (-6, 2)!
Penyelesaian
Karena fokusnya pada sumbu Y dan melalui titik (-6, 2), maka merupakan parabola vertikal yang terbuka ke atas
$x^2$ = $4py$
$(-6)^2$ = $4p(2)$
$16$ = $8p$
$4p$ = $\frac{16}{2}$
$4p$ = $8$
Sehingga,
$x^2$ = $8y$
Jadi, persamaan parabolanya adalah $x^2$ = $8y$
Nah, demikianlah mengenai persamaan parabola dengan puncak di O(0, 0) beserta contoh soalnya. mengenai persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b) akan dibahas pada artikel berikutnya. Semoga bermanfaat.
