Pengertian, Sifat-Sifat, dan Contoh Soal Fungsi Komposisi

Fungsi merupakan relasi khusus yang memasangkan suatu himpunan tepat satu dengan anggota himpunan yang lain. Misalkan terdapat himpunan A dan himpunan B, relasi A ke B disebut fungsi apabila anggota A memiliki pasangan tepat satu di B. Ini berarti A hanya boleh memiliki satu pasangan di B, tetapi aturan tersebut tidak berlaku di B (B boleh memiliki pasangan lebih dari satu di A). Jika diterjemahkan dalam bahasa gaul A tidak boleh jomblo, namun B boleh selingkuh. Selanjutnya dalam fungsi dikenal istilah fungsi komposisi.

Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi adalah penggabungan operasi dari dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi yang baru. Operasi fungsi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" dan dibaca komposisi/bundaran. Untuk memahami fungsi komposisi, simaklah penjelasan berikut.

Misalkan diketahui A = {a₁, a₂, a₃}, B = {b₁, b₂, b₃, b₄}, dan C = {c₁, c₂, c₃}, maka fungsi f : A → B dan g : B → C dapat didefinisikan dalam diagram panah di bawah ini.
Dari kedua diagram di atas, dapat ditentukan fungsi yang memetakan secara langsung dari A ke C. Hal ini dapat digambarkan dalam diagram berikut.
Dari, diagram di atas diperoleh
f(a₁) = b₂ dan g(b₂) = c₂ sehingga (g o f) (a₁) = c₂
f(a₂) = b₁ dan g(b₁) = c₁ sehingga (g o f) (a₂) = c₁
f(a₃) = b₃dan g(b₃) = c₃ sehingga (g o f) (a₃) = c₃

Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C tersebut dianggap fungsi tunggal, yang dapat dinyatakan  dalam  sebagai  berikut.
(g o f) (a₁) = c₂
(g o f) (a₂) = c₁
(g o f) (a₃) = c₃

Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan g o f dibaca "fungsi g bundaran f". Fungsi g o f adalah fungsi komposisi dengan f yang dikerjakan terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan g. Sedangkan, untuk f  o g "dibaca fungsi f bundaran g". Jadi, f o g adalah fungsi komposisi dengan g dikerjakan terlebih dahulu daripada f. Fungsi komposisi yang melibatkan fungsi f dan g dapat ditulis:

(g o f)(x) = g(f(x))
(f o g)(x) = f(g(x))

Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

Dalam fungsi komposisi berlaku sifat-sifat sebagai berikut
a. Dalam funsi komposisi tidak berlaku sifat komutatif, yaitu f o g ≠ g o f;
b. Jika I fungsi identitas maka berlaku : I o f = f o I = f;
c. Dalam fungsi komposisi berlaku sifat asosiatif, yaitu : f o (g o h) = (f o g) o h.

Untuk lebih memahami tentang fungsi komposisi, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh 1
Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus f(x) = 3x – 1 dan g(x) = x + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi berikut.
a. (f o g)(x)
b. (g o f)(–2)

Penyelesaian
a. (f o g)(x) = f(g(x))
                   = f(x + 4)
                   = 3(x + 4) - 1
                   = 3x + 12 - 1
                   = 3x + 11
Jadi, (f o g)(x) = 3x + 11

Untuk jawaban bagian b, langkah pertama yang dilakukan adalah dengan menentukan fungsi komposisi (g o f)(x)
b. (g o f)(x) = g(f(x))
                    = g(3x - 1)
                    = (3x - 1) + 4
                    = 3x + 3
Jadi, nilai (g o f)(–2) adalah
(g o f)(–2) = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3

Fungsi Komposisi yang Melibatkan Tiga Fungsi

Untuk menyelesaiakan fungsi komposisi yang melibatkan tiga fungsi, dapat dilakukan secara bertahap. Contoh berikut mungkin dapat membantu anda dalam memahami fungsi komposisi tersebut.

Contoh 2
Diketahui f(x) = x², g(x) = x - 1, dan h(x) = 3x. Tentukan (f o (g o h))(x)!
Penyelesaian
Untuk menyelesaiakan soal ini, dapat dilakukan dengan bertahap.
(g o h)(x) = g(h(x))
                = g(3x)
                = 3x - 1
(g o h)(x) = 3x - 1

(f o (g o h))(x) = f(g(h(x)))
                        = f(3x - 1)
                        = (3x - 1)²
                        = 9x² - 6x + 1
Jadi, (f o (g o h))(x) = 9x² - 6x + 1

Menentukan Fungsi Awal, Jika Diketahui Fungsi Komposisinya

Dua contoh berikut, akan membahas mengenai bagaimana cara menyelesaiakan soal yang fungsi komposisinya diketahui dan salah satu fungsi awalnya tidak diketahui (ditanya). Berikut ini merupakan contoh soalnya.

Contoh 3
Jika diketahui, (f o g)(x) = 6x + 3 dan f(x) = 2x - 3. Tentukanlah g(x)!
Penyelesaian
(f o g)(x) = 6x + 3
f(g(x)) = 6x + 3
2g(x) - 3 = 6x + 3
2g(x) = 6x + 6
g(x) = 3x + 3
Jadi, g(x) = 3x + 3

Contoh 4
Jika diketahui, (f o g)(x) = 2x + 6 dan g(x) = x + 1. Tentukanlah f(x)!
Penyelesaian
(f o g)(x) = 2x + 6
f(g(x)) = 2x + 6
f(x + 1) = 2x + 2 + 4
f(x + 1) = 2(x + 1) + 4
Sehingga,
f(x) = 2x + 4
Jadi, f(x) = 2x + 4

Fungsi Komposisi yang Melibatkan Fungsi dalam Himpunan Pasangan Berurutan

Jika biasanya fungsi yang digunakan dalam bentuk rumus fungsi, dalam contoh berikut akan disajiakan  fungsi komposisi  melibatkan fungsi yang dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan.

Contoh 5
Diketahui fungsi p dan q yang ditulis dalan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut.
p = {(2, 4), (3, 6), (4, 4), (5, 2), (6, 3)}
q = {(2, 5), (3, 2), (4, 2), (5, 3), (6, 4)}
Tentukan
a. (p o q)
b. (p o q)(3)
c. (q o p)(1)
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan soal a, ingat bahwa (p o q) artinya q dikerjakan terlebih dahulu kemudian p. Misalkan, anggota q yaitu (2, 5) ini berarti peta dari 2 adalah 5, kemudian 5 dipetakan lagi dalam p yaitu 2. Sehingga diperoleh pasangan baru dari fungsi komposisi tersebut yaitu (2, 2). Cara yang sama berlaku juga untuk yang lainya
a. (p o q) = {(2, 2), (3, 4), (4, 4), (5, 6), (6, 4)}
b. (p o q)(3) = 4
c. (q o p)(1) = tak terdefinisi