Dalam fungsi biasanya untuk menentukan nilai atau petanya maka kita masukan nilai domain ke rumus fungsi dan kemudian kita akan mendapatkan petanya. Hal sebaliknya dapat kita lakukan yaitu dari peta kita akan mendapatkan domainya. Kita dapat melakukanya dengan memasukkan petanya ke fungsi inversnya. Pada bahasan kali ini, akan dibahas mengenai Fungsi Invers baik itu, pengertian, sifat-sifat dan contoh soalnya. Namun, untuk mempermudah memahami materi ini, syaratnya adalah anda harus memahami terlebih dahulu mengenai relasi dan fungsi.
Misalkan terdapat dua fungsi yaitu fungsi f dan g yang digambarkan dalam diagram panah di bawah ini.
Apabila fungsi $g$ dan $f$ dibalik maka akan menghasilkan $R{_{1}}$ dan $R{_{2}}$. $R{_{1}}$ merupakan invers dari fungsi $g$ yang bukan fungsi dan termasuk ke dalam relasi. Karena ada anggota B yang tidak memiliki pasangan di A serta terdapat anggota yang memiliki pasangan lebih dari satu, sehingga $R{_{1}}$ bukan fungsi. Sedangkan $R{_{2}}$ merupakan invers dari fungsi $g$ yang termasuk fungsi. Karena setiap anggota B memiliki tepat satu pasangan di A. Dengan demikian $R{_{2}}$ dapat dikatakan sebagai fungsi invers dari $f$ yang biasanya dinotasikan dengan $f^{-1}$.
Dari gambar terlihat bahwa fungsi $f$ merupakan fungsi korepondensi satu-satu, sehingga ketika $f$ dibalik maka menghasilkan invers yang merupakan fungsi juga.
Contoh 1
Jika diketahui $f(x) = 3x - 2$, tentukan invers dari $f(x)$
Penyelesaian
$f(x) = 3x - 2$
$y = 3x - 2$
$y + 2 = 3x$
$(x = \frac{y + 2}{3}$
$f(y) = \frac{y + 2}{3}$
$f^{-1} = \frac{x + 2}{3}$
Jadi, $f^{-1} = \frac{x + 2}{3}$
Contoh 2
Diketahui $f : R → R$ dan $g : R → R$ ditentukan oleh $f(x) = 2x – 7$ dan $g(x) = 3x + 2$. Tentukan $(g o f)^{–1}(x)$!
Penyelesaian
Soal, di atas melibatkan fungsi komposisi, yang dapat dipelajari pada link ini
$(gof)(x) = g(f(x))$
$(gof)(x) = g(2x - 7)$
$(gof)(x) = 3(2x - 7) + 2$
$(gof)(x) = 6x - 21 + 2$
$(gof)(x) = 6x - 19$
$(gof)(x) = 6x - 19$
$y = 6x - 19$
$y + 19 = 6x$
$x = \frac{y + 19}{6}$
$f(y) = \frac{y + 19}{6}$
$(gof)^{-1}(x) = \frac{x + 19}{6}$
Jadi, $(gof)^{-1}(x) = \frac{x + 19}{6}$
Contoh 3
Diketahui $h(x) = \dfrac{x – 2}{x+3}$, tentukan $h^{-1}(x)$!
Penyelesaian
$h(x) = \dfrac{x – 2}{x+3}$
$y = \dfrac{x – 2}{x+3}$
$y (x + 3) = x - 2$
$xy + 3y = x - 2$
$xy - x = -3y - 2$
$x(y - 1) = -3y - 2$
$x = \dfrac{-3y - 2}{y - 1}$
$h(y) = \dfrac{-3y - 2}{y - 1}$
$h^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 2}{x - 1}$
Jadi, $h^{-1}(x) =\dfrac{-3x - 2}{x - 1}$
Demikaianlah penjelasan singkat mengenai pengertian dan contoh soal fungsi invers. Semoga bermanfaat
Pengertian Fungsi Invers
Fungsi Invers atau dapat disebut sebagai Fungsi Kebalikan adalah fungsi yang merupakan kebalikan dari aksi fungsi awalnya. Setiap fungsi mempunyai invers, namun setiap invers belum tentu sebuah fungsi. Ini berarti invers dari suatu fungsi dapat berupa relasi atau fungsi. Untuk lebih memahaminya, simaklah penjelasan berikut.Misalkan terdapat dua fungsi yaitu fungsi f dan g yang digambarkan dalam diagram panah di bawah ini.
Apabila fungsi $g$ dan $f$ dibalik maka akan menghasilkan $R{_{1}}$ dan $R{_{2}}$. $R{_{1}}$ merupakan invers dari fungsi $g$ yang bukan fungsi dan termasuk ke dalam relasi. Karena ada anggota B yang tidak memiliki pasangan di A serta terdapat anggota yang memiliki pasangan lebih dari satu, sehingga $R{_{1}}$ bukan fungsi. Sedangkan $R{_{2}}$ merupakan invers dari fungsi $g$ yang termasuk fungsi. Karena setiap anggota B memiliki tepat satu pasangan di A. Dengan demikian $R{_{2}}$ dapat dikatakan sebagai fungsi invers dari $f$ yang biasanya dinotasikan dengan $f^{-1}$.
Syarat Invers Fungsi Dikatakan Fungsi
Fungsi infers dari $f$ dinyatakan dengan menambahkan "$^{-1}$" pada f atau ditulis $f^{ -1}$. Dari penjelasan sebelumnya, terlihat bahwa $f^{ -1}$ ada apabila f dalam keadaan berkorespondensi satu-satu atau $f$ adalah fungsi bijektif. Perhatikan diagram fungsi $f$ di bawahDari gambar terlihat bahwa fungsi $f$ merupakan fungsi korepondensi satu-satu, sehingga ketika $f$ dibalik maka menghasilkan invers yang merupakan fungsi juga.
Menetukan Fungsi Invers Suatu Fungsi
Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini.- Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
- Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).
- Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).
Contoh 1
Jika diketahui $f(x) = 3x - 2$, tentukan invers dari $f(x)$
Penyelesaian
$f(x) = 3x - 2$
$y = 3x - 2$
$y + 2 = 3x$
$(x = \frac{y + 2}{3}$
$f(y) = \frac{y + 2}{3}$
$f^{-1} = \frac{x + 2}{3}$
Jadi, $f^{-1} = \frac{x + 2}{3}$
Contoh 2
Diketahui $f : R → R$ dan $g : R → R$ ditentukan oleh $f(x) = 2x – 7$ dan $g(x) = 3x + 2$. Tentukan $(g o f)^{–1}(x)$!
Penyelesaian
Soal, di atas melibatkan fungsi komposisi, yang dapat dipelajari pada link ini
$(gof)(x) = g(f(x))$
$(gof)(x) = g(2x - 7)$
$(gof)(x) = 3(2x - 7) + 2$
$(gof)(x) = 6x - 21 + 2$
$(gof)(x) = 6x - 19$
$(gof)(x) = 6x - 19$
$y = 6x - 19$
$y + 19 = 6x$
$x = \frac{y + 19}{6}$
$f(y) = \frac{y + 19}{6}$
$(gof)^{-1}(x) = \frac{x + 19}{6}$
Jadi, $(gof)^{-1}(x) = \frac{x + 19}{6}$
Contoh 3
Diketahui $h(x) = \dfrac{x – 2}{x+3}$, tentukan $h^{-1}(x)$!
Penyelesaian
$h(x) = \dfrac{x – 2}{x+3}$
$y = \dfrac{x – 2}{x+3}$
$y (x + 3) = x - 2$
$xy + 3y = x - 2$
$xy - x = -3y - 2$
$x(y - 1) = -3y - 2$
$x = \dfrac{-3y - 2}{y - 1}$
$h(y) = \dfrac{-3y - 2}{y - 1}$
$h^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 2}{x - 1}$
Jadi, $h^{-1}(x) =\dfrac{-3x - 2}{x - 1}$
Demikaianlah penjelasan singkat mengenai pengertian dan contoh soal fungsi invers. Semoga bermanfaat
