Untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran, materi yang harus dikuasai adalah materi garis singgung lingkaran serta rumus lingkaran lainnya seperti keliling dan panjang busur lingkaran. Biasanya soal-soal menyangkut panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran ini muncul pada soal ulangan kenaikan kelas atau soal ulangan akhir semester genap SMP kelas 8. Namun, dalam ujian nasional soal ini jarang muncul. Soal-soal seperti ini, biasanya juga muncul pada soal Olimpiade Matematika. Untuk soal Olimpiade, biasanya dibuat dalam bentuk pengembangan soal yang cukup sulit. Untuk itu perlu pemahaman dasar mengenai cara menentukan panjang sabuk lilitan minimal ini.
Gambar diatas merupakan bentuk ilustrasi dari rantai yang melilit dua buah gear dengan ukuran yang berbeda, sama seperti yang kita lihat pada sepeda maupun sepeda motor. Untuk menghitung panjang rantai tersebut, kita dapat menghitungnya dengan membagi rantai kedalam beberapa bagian. Nah, sekarang perhatikan gambar berikut.
Untuk menghitung panjang rantai maka kita dapat menjumlahkan
Panjang busur besar PS + PQ + Panjang busur kecil QS + SR.
PQ dan SR merupakan garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran yang berpusat di A dan B. Dengan demikian, sesuai dengan kedudukan kedua lingkaran tersebut maka didapat panjang PQ = SR. Untuk panjang busur besar PS daat ditentukan dengan mengetahui sudut PAS yaitu $\alpha$ beserta jari-jari lingkaran A (R), sedangkan untuk panjang busur kecil QS dapat ditentukan dengan mengetahui sudut pusat yang berhadapan dengan busur kecil QS yaitu $\alpha - 360^{o}$ serta jari-jari B (r). Dengan demikian, jika p adalah panjang rantai maka
p = 2PQ + Panjang Busur Besar PS + Panjang Busur Kecil SR
Dimana
$PQ = AB^{2} - (R - r)^{2}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{\alpha}{360^{o}} 2\pi R$
Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-\alpha}{360^{o}} 2\pi r$
Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut
Contoh
Perhatikan gambar berikut!
Diketahui dua buah lingkaran yang berpusat di A dan B dengan jari-jari berturut-turut 22 cm dan 6 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran 65 cm dan besar sudut PAB = 80$^{o}$, hitunglah panjang tali yang melilit kedua lingkaran!
Penyelesaian
PQ = $\sqrt{AB^{2} - (AP - BQ)^{2}}$
PQ = $\sqrt{65^{2} - (22 - 6)^{2}}$
PQ = $\sqrt{4225 - 256}$
PQ = $\sqrt{3969}$
PQ = 63 cm
$\alpha = 360^{o} - 2(80^{o}) = 200^{o}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 22$
Panjang Busur Besar PS = 76,76 cm
Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 6$
Panjang Busur Kecil SR = 16,75 cm
p = 2(63) + 76,76 + 16,75 = 219,51 cm
Jadi, panjang tali yang melilit kedua lingkaran = 219,51 cm
Keliling lingkaran (K) = $2 \pi r$ atau
Keliling lingkaran (K) = $\pi d$
Diameter (d) = 2r
Untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran (p) perhatikan dua kasus berikut
Kasus 1
Perhatikan gambar
Untuk menetukan panjang sabuk yang melilit dua lingkaran di atas dapat ditentukan dengan
$p = d + d + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran $
$p = 2d + Keliling Lingkaran $
$p = 2d + \pi d $
Kasus 2
Perhatikan gambar
Tiga lingkaran identik disusun menyerupai bentuk segitiga. Untuk menghitung panjang sabuk yang melilit ketiga lingkaran dapat dilakukan dengan menjumlahkan panjang PQ, RS, TU, panjang busur kecil PU, panjang busur kecil QR, dan panjang busur kecil ST. PQ = RS = TU = d dan dengan menghubungkan pusat-pusat lingkaran maka diperoleh segitiga sama sisi ABC dengan masing-masing sudutnya 60$^{o}$. Sudut PUA dapat ditentukan dengan
$\angle PUA = 360^{o} - 90^{o} - 60^{o} - 90^{o}$
$\angle PUA = 120^{o}$
Karena tiga lingkaran kongruen, maka $\angle PUA = \angle QBR = \angle TCS = 120^{o}$.
Dengan demikian panjang sabuk dapat ditentukan dengan
$p = 3d + P. Busur kecil PU + P. Busur kecil QR + P. Busur kecil ST$
$p = 3d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d$
$p = 3d + \frac{360^{o}}{360^{o}}\pi d $
$p = 3d + \pi d $
Dengan melakukan hal yang sama pada kasus-kasus lainnya kita dapat menentukan panjang sabuk lilitan. Dari dua kasus di atas diperoleh bahwa setiap tali/sabuk melewati dua lingkaran maka panjangnya sama dengan diameter lingkaran. Panjang sabuk/tali yang mengikuti busur lingkaran jumlahnya sama dengan satu keliling lingkaran (harus dianalisis terlebih dahulu)
$p = nd + \pi d$
Dengan
p = panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran
n = banyaknya sabuk yang panjangnya sama dengan diameter
d = diameter lingkaran
Penting!
Perlu diingat bahwa, penggunaan rumus di atas hanya dapat digunakan pada soal-soal yang melibatkan lingkaran-lingkaran yang sama atau memiliki jari-jari yang sama serta telah dapat dipastikan bahwa panjang sabuk/tali yang melewati busur lingkaran jumlahnya sama dengan satu keliling lingkaran
Untuk penggunaan rumus cepat di atas perhatikan contoh soal berikut!
Contoh
Diketahui dua buah lingkaran dengan jari-jari yang sama yaitu 14 cm diikat dengan seutas tali. Tentukan panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat kedua lingkaran!
Penyelesaian
Perhatikan, pada gambar terdapat dua panjang tali yang panjangnya sama dengan diameter. Sehingga n = 2 dan d = 28
$p = 2d + \pi d$
$p = 2(28) + \frac{22}{7} \times 28$
$p = 56 + 88$
$p = 144 cm$
Jadi, panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat kedua lingkaran = 144 cm
Contoh
Tiga buah pipa dengan ukuran yang disusun dan diikat menggunakan sebuah tali, sehingga susunannya menyerupai segitiga. Apabila jari-jari pipa 7 cm, tentukan panjang tali yang digunakan untuk mengikat pipa-pipa tersebut!
Penyelesaian
n = 6
d = 14 cm
$p = 3d + \pi d$
$p = 3(14) + \frac{22}{7} \times 14$
$p = 42 + 44$
$p = 86 cm$
Jadi, panjang tali yang digunakan untuk mengikat pipa-pipa tersebut = 86 cm
Contoh
Lima buah drum disusun sedemikan, sehingga dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini!
Apabila, drum-drum tersebut akan diikat dengan menggunakan kawat. Tentukan panjang kawat minimal yang dibutuhkan untuk mengikat drum tersebut, jika diketahui diameter drum 50 cm!
Penyelesaian
Soal di atas tentunya memiliki penyelesaian berbeda dari dua soal sebelumnya. Untuk menentukan panjang kawat, perhatikanlah gambar di bawah
Panjang kawat dapat ditentukan dengan menjumlahkan panjang PQ, panjang RS, dan panjang TU. Panjang TU = 3d sementara panjang PQ = RS = AC = BC. Panjang AC dapat ditentukan dengan menggunakan pythagoras, namun terlebih dahulu kita harus menentukan panjang CD
$CD = \sqrt{d^{2} - r^2}$
$CD = \sqrt{50^{2} - {25}^2}$
$CD = \sqrt{1875}$
$CD = 25\sqrt{3}$
AD = 75 cm
$AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$
$AC = \sqrt{75^{2}+1875}$
$AC = \sqrt{5625+1875}$
$AC = \sqrt{7500}$
$AC = 50\sqrt{3}$
$p = 2AC + TU + \pi d$
Panjang Rantai yang Melilit Pada Dua Gear
Pertama akan dibahas mengenai cara menghitung panjang rantai yang melilit dua gear. Contoh nyata yang dapat kita lihat dalam kehidupan sehari-hari adalah pada rantai sepeda maupun sepeda motor. Dalam kasus ini kita akan mencoba menghitung panjang rantai dengan menggunakan konsep garis singgung dan panjang busur lingkaran. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut
Gambar diatas merupakan bentuk ilustrasi dari rantai yang melilit dua buah gear dengan ukuran yang berbeda, sama seperti yang kita lihat pada sepeda maupun sepeda motor. Untuk menghitung panjang rantai tersebut, kita dapat menghitungnya dengan membagi rantai kedalam beberapa bagian. Nah, sekarang perhatikan gambar berikut.
Untuk menghitung panjang rantai maka kita dapat menjumlahkan
Panjang busur besar PS + PQ + Panjang busur kecil QS + SR.
PQ dan SR merupakan garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran yang berpusat di A dan B. Dengan demikian, sesuai dengan kedudukan kedua lingkaran tersebut maka didapat panjang PQ = SR. Untuk panjang busur besar PS daat ditentukan dengan mengetahui sudut PAS yaitu $\alpha$ beserta jari-jari lingkaran A (R), sedangkan untuk panjang busur kecil QS dapat ditentukan dengan mengetahui sudut pusat yang berhadapan dengan busur kecil QS yaitu $\alpha - 360^{o}$ serta jari-jari B (r). Dengan demikian, jika p adalah panjang rantai maka
p = 2PQ + Panjang Busur Besar PS + Panjang Busur Kecil SR
Dimana
$PQ = AB^{2} - (R - r)^{2}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{\alpha}{360^{o}} 2\pi R$
Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-\alpha}{360^{o}} 2\pi r$
Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut
Contoh
Perhatikan gambar berikut!
Penyelesaian
PQ = $\sqrt{AB^{2} - (AP - BQ)^{2}}$
PQ = $\sqrt{65^{2} - (22 - 6)^{2}}$
PQ = $\sqrt{4225 - 256}$
PQ = $\sqrt{3969}$
PQ = 63 cm
$\alpha = 360^{o} - 2(80^{o}) = 200^{o}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 22$
Panjang Busur Besar PS = 76,76 cm
Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 6$
Panjang Busur Kecil SR = 16,75 cm
p = 2(63) + 76,76 + 16,75 = 219,51 cm
Jadi, panjang tali yang melilit kedua lingkaran = 219,51 cm
Panjang Sabuk Lilitan Minimal Pada Lingkaran
Pada bagian sebelumny, hanya akan didapatkan masalah-masalah yang melibatkan dua lingkaran saja. Sedangkan kali ini, akan ditemui masalah-masalah yang mungkin akan melibatkan lebih dari dua lingkaran. Untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran, ada beberapa rumus yang harus dikuasai terlebih dahulu yaituKeliling lingkaran (K) = $2 \pi r$ atau
Keliling lingkaran (K) = $\pi d$
Diameter (d) = 2r
Untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran (p) perhatikan dua kasus berikut
Kasus 1
Perhatikan gambar
$p = d + d + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran $
$p = 2d + Keliling Lingkaran $
$p = 2d + \pi d $
Kasus 2
Perhatikan gambar
$\angle PUA = 360^{o} - 90^{o} - 60^{o} - 90^{o}$
$\angle PUA = 120^{o}$
Karena tiga lingkaran kongruen, maka $\angle PUA = \angle QBR = \angle TCS = 120^{o}$.
$p = 3d + P. Busur kecil PU + P. Busur kecil QR + P. Busur kecil ST$
$p = 3d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d$
$p = 3d + \frac{360^{o}}{360^{o}}\pi d $
$p = 3d + \pi d $
Dengan melakukan hal yang sama pada kasus-kasus lainnya kita dapat menentukan panjang sabuk lilitan. Dari dua kasus di atas diperoleh bahwa setiap tali/sabuk melewati dua lingkaran maka panjangnya sama dengan diameter lingkaran. Panjang sabuk/tali yang mengikuti busur lingkaran jumlahnya sama dengan satu keliling lingkaran (harus dianalisis terlebih dahulu)
Rumus Cepat
Dari cara di atas kita memperoleh rumus cepat untuk menentukan panjang sabuk lilitan minimal yaitu$p = nd + \pi d$
Dengan
p = panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran
n = banyaknya sabuk yang panjangnya sama dengan diameter
d = diameter lingkaran
Penting!
Perlu diingat bahwa, penggunaan rumus di atas hanya dapat digunakan pada soal-soal yang melibatkan lingkaran-lingkaran yang sama atau memiliki jari-jari yang sama serta telah dapat dipastikan bahwa panjang sabuk/tali yang melewati busur lingkaran jumlahnya sama dengan satu keliling lingkaran
Untuk penggunaan rumus cepat di atas perhatikan contoh soal berikut!
Contoh
Diketahui dua buah lingkaran dengan jari-jari yang sama yaitu 14 cm diikat dengan seutas tali. Tentukan panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat kedua lingkaran!
Perhatikan, pada gambar terdapat dua panjang tali yang panjangnya sama dengan diameter. Sehingga n = 2 dan d = 28
$p = 2d + \pi d$
$p = 2(28) + \frac{22}{7} \times 28$
$p = 56 + 88$
$p = 144 cm$
Jadi, panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat kedua lingkaran = 144 cm
Contoh
Tiga buah pipa dengan ukuran yang disusun dan diikat menggunakan sebuah tali, sehingga susunannya menyerupai segitiga. Apabila jari-jari pipa 7 cm, tentukan panjang tali yang digunakan untuk mengikat pipa-pipa tersebut!
n = 6
d = 14 cm
$p = 3d + \pi d$
$p = 3(14) + \frac{22}{7} \times 14$
$p = 42 + 44$
$p = 86 cm$
Jadi, panjang tali yang digunakan untuk mengikat pipa-pipa tersebut = 86 cm
Contoh
Lima buah drum disusun sedemikan, sehingga dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini!
Penyelesaian
Soal di atas tentunya memiliki penyelesaian berbeda dari dua soal sebelumnya. Untuk menentukan panjang kawat, perhatikanlah gambar di bawah
$CD = \sqrt{d^{2} - r^2}$
$CD = \sqrt{50^{2} - {25}^2}$
$CD = \sqrt{1875}$
$CD = 25\sqrt{3}$
AD = 75 cm
$AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$
$AC = \sqrt{75^{2}+1875}$
$AC = \sqrt{5625+1875}$
$AC = \sqrt{7500}$
$AC = 50\sqrt{3}$
$p = 2AC + TU + \pi d$
$p = 2(50\sqrt{3})+ 3(50) + 3,14 \times 50$
$p = 100\sqrt{3}+ 150 + 157$
$p = (100\sqrt{3}+ 307)$ cm
Jadi, panjang kawat minimal yang dibutuhkan untuk mengikat drum tersebut = $(100\sqrt{3}+ 307)$cm
$p = 100\sqrt{3}+ 150 + 157$
$p = (100\sqrt{3}+ 307)$ cm
Jadi, panjang kawat minimal yang dibutuhkan untuk mengikat drum tersebut = $(100\sqrt{3}+ 307)$cm
Demikianlah mengenai cara panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran. Soal-soal di atas hanya membahas mengenai dasar-dasar cara menetukan panjang sabuk lilitan minimal pada lngkaran yang bisa digunakan sebagai dasar pengetahuan didalam menentukan soal-soal dengan tingkat kesulitan yang lebih tinggi seperti soal-soal Olimpiade. Semoga pembahasan di atas dapat bermanfaat.
