Dalam fungsi kuadrat biasanya kita membuat grafiknya, nah kali ini kita akan membalik prosesnya yaitu menentukan atau membentuk fungsi kuadrat dari unsur-unsur yang diketahui. Unsur-unsur yang dimaksud adalah titik potong grafiknya, persamaan sumbu simetrinya atau koordinat titik puncaknya serta titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi kuadrat itu sendiri. Pada dasarnya kita dapat menentukan suatu fungsi kuadrat apabila setidaknya diketahui tiga titik yang dialuinya.
Dalam menentukan suatu fungsi kuadrat kita dapat menggunakan tiga cara berdasarkan unsur-unsur yang diketahui dari fungsi kuadrat itu sendiri.
Menetukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Potong Grafik dengan Sumbu X dan Melalui suatu Titik Sebarang
Jika diketahui suat grafik fungsi y = ax2 + bx + c memotong sumbu x pada titik (x1, 0) dan (x2, 0) maka rumus fungsi dari grafik fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai
y = a(x - x1)(x - x2)
Selanjutnya untuk menentukan nilai a, kita juga harus mengetahui titik lainnya yang dilalui fungsi kuadrat tersebut. Dengan demikian kita dapat menyusun rumus fungsi kuadrat tersebut
Contoh 1
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (-2, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (0, 6)
Penyelesaian
Dari titik potong sumbu x kita dapatkan x1 = -2 dan x2 = 3
y = a(x - x1)(x - x2)
y = a(x - (-2))(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)
Selanjutnya, kita tentukan nilai a dengan mensubstitusikan nilai x dan y titik (0, 6) pada persamaan di atas
6 = a(0 + 2)(0 - 3)
6 = a(2)(-3)
6 = -6a
a = -1
Jadi fungsi kuadratnya adalah
y = -1(x + 2)(x - 3)
y = -1(x2 - x - 6)
y = -x2 + x + 6
Menetukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Potong Puncak dan Melalui suatu Titik Sebarang
Jika yang diketahui dari suatu fungsi y = ax2 + bx + c adalah titik puncaknya (h, k) maka rumus fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
y = a(x - h)2 + k
Dengan mensubstitusikan titik lain yang dilalui oleh fungs kuadrat tersebut, kita akan memperoleh nilai a. Selanjutnya dengan mudah kita dapat menyusunrumus fungsi kuadratnya.
Contoh 2
Tentukan fungsi kuadrat yang titik puncaknya di P(1, 4) dan melalui titik (-1, 0)!
Penyelesaian
Dari titik puncak P(1, 4) kita dapatkan nilai h = 1 dan k = 4 maka
y = a(x - h)2 + k
y = a(x - 1)2 + 4
Kemudian substitusikan nilai x dan y titik (-1, 0) yang dilaluinya
0 = a(-1 - 1)2 + 4
0 = a(-2)2 + 4
0 = 4a + 4
-4a = 4
a = -1
Jadi fungsi kuadratnya adalah
y = -1(x - 1)2 + 4
y = -1(x2 - 2x + 1) + 4
y = -x2 + 2x - 1 + 4
y = -x2 + 2x + 3
Menetukan Fungsi Kuadrat yang Melalui Tiga Titik Sebarang
Untuk sembarang rumus fungsi kuadrat yang melalui tiga titik sebarang, kita misalkan bentuk fungsi kuadrat tersebut adalah y = ax2 + bx + c. Selanjutnya kita substitusikan nilai x dan y dari ketiga titik tersebut ke rumus fungsi kuadrat tersebut. Sehingga, diperoleh tiga buah persamaan dengan tiga variabel dan dengan menggunakan metode penyelesaian persamaan linear kita akan dapatkan nilai a, b, dan c. Terakhir kita susun fungsi kuadrat tersebut
Contoh 3
Grafik y = ax2 + bx + c melalui titik (0, 1), (2, 5), dan (-1, 4). Tentukan nilai a, b, dan c serta rumus fungsi kuadrat itu sendiri!
Penyelesaian
Dari titik (0, 1) diperoleh
1 = a(0)2 + b(0) + c
1 = c
c = 1
Dari titik (2, 5) diperoleh
5 = a(2)2 + b(2) + c
5 = 4a + 2b + 1 (substitusi c = 1)
4a + 2b = 4
Dari titik (-1, 4) diperoleh
4 = a(-1)2 + b(-1) + c
4 = a - b + 1 (substitusi c = 1)
a = b + 3
Substitusi a = b + 3 ke 4a + 2b = 4
4(b + 3) + 2b = 4
4b + 12 + 2b = 4
6b = -8
b = -4/3
Substitusi b = -4/3 ke a = b + 3
a = -4/3 + 3
a = 5/3
Jadi, nilai a = 5/3, b = 4/3, dan c = 1, serta fungsi kuadratnya menjadi
y = (5/3) x2 + (4/3) x + 1
Sebagai catatan kita juga dapat menggunakan metode eliminasi dalam menentukan nilai a, b, dan c. Anda bisa membaca mengenai metode ini dalam artikel Memilih Metode Yang Paling Cepat Dalam Menyelesaikan SPLDV. Serta jika nantinya anda menemukan persamaan linear tiga variabel mungkin artikel Menentukan Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dapat membantu anda memahami bagaimana menyelesaikannya. Semoga bermanfaat.
Dalam menentukan suatu fungsi kuadrat kita dapat menggunakan tiga cara berdasarkan unsur-unsur yang diketahui dari fungsi kuadrat itu sendiri.
Menetukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Potong Grafik dengan Sumbu X dan Melalui suatu Titik Sebarang
Jika diketahui suat grafik fungsi y = ax2 + bx + c memotong sumbu x pada titik (x1, 0) dan (x2, 0) maka rumus fungsi dari grafik fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai
y = a(x - x1)(x - x2)
Selanjutnya untuk menentukan nilai a, kita juga harus mengetahui titik lainnya yang dilalui fungsi kuadrat tersebut. Dengan demikian kita dapat menyusun rumus fungsi kuadrat tersebut
Contoh 1
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (-2, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (0, 6)
Penyelesaian
Dari titik potong sumbu x kita dapatkan x1 = -2 dan x2 = 3
y = a(x - x1)(x - x2)
y = a(x - (-2))(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)
Selanjutnya, kita tentukan nilai a dengan mensubstitusikan nilai x dan y titik (0, 6) pada persamaan di atas
6 = a(0 + 2)(0 - 3)
6 = a(2)(-3)
6 = -6a
a = -1
Jadi fungsi kuadratnya adalah
y = -1(x + 2)(x - 3)
y = -1(x2 - x - 6)
y = -x2 + x + 6
Menetukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Potong Puncak dan Melalui suatu Titik Sebarang
Jika yang diketahui dari suatu fungsi y = ax2 + bx + c adalah titik puncaknya (h, k) maka rumus fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
y = a(x - h)2 + k
Dengan mensubstitusikan titik lain yang dilalui oleh fungs kuadrat tersebut, kita akan memperoleh nilai a. Selanjutnya dengan mudah kita dapat menyusunrumus fungsi kuadratnya.
Contoh 2
Tentukan fungsi kuadrat yang titik puncaknya di P(1, 4) dan melalui titik (-1, 0)!
Penyelesaian
Dari titik puncak P(1, 4) kita dapatkan nilai h = 1 dan k = 4 maka
y = a(x - h)2 + k
y = a(x - 1)2 + 4
Kemudian substitusikan nilai x dan y titik (-1, 0) yang dilaluinya
0 = a(-1 - 1)2 + 4
0 = a(-2)2 + 4
0 = 4a + 4
-4a = 4
a = -1
Jadi fungsi kuadratnya adalah
y = -1(x - 1)2 + 4
y = -1(x2 - 2x + 1) + 4
y = -x2 + 2x - 1 + 4
y = -x2 + 2x + 3
Menetukan Fungsi Kuadrat yang Melalui Tiga Titik Sebarang
Untuk sembarang rumus fungsi kuadrat yang melalui tiga titik sebarang, kita misalkan bentuk fungsi kuadrat tersebut adalah y = ax2 + bx + c. Selanjutnya kita substitusikan nilai x dan y dari ketiga titik tersebut ke rumus fungsi kuadrat tersebut. Sehingga, diperoleh tiga buah persamaan dengan tiga variabel dan dengan menggunakan metode penyelesaian persamaan linear kita akan dapatkan nilai a, b, dan c. Terakhir kita susun fungsi kuadrat tersebut
Contoh 3
Grafik y = ax2 + bx + c melalui titik (0, 1), (2, 5), dan (-1, 4). Tentukan nilai a, b, dan c serta rumus fungsi kuadrat itu sendiri!
Penyelesaian
Dari titik (0, 1) diperoleh
1 = a(0)2 + b(0) + c
1 = c
c = 1
Dari titik (2, 5) diperoleh
5 = a(2)2 + b(2) + c
5 = 4a + 2b + 1 (substitusi c = 1)
4a + 2b = 4
Dari titik (-1, 4) diperoleh
4 = a(-1)2 + b(-1) + c
4 = a - b + 1 (substitusi c = 1)
a = b + 3
Substitusi a = b + 3 ke 4a + 2b = 4
4(b + 3) + 2b = 4
4b + 12 + 2b = 4
6b = -8
b = -4/3
Substitusi b = -4/3 ke a = b + 3
a = -4/3 + 3
a = 5/3
Jadi, nilai a = 5/3, b = 4/3, dan c = 1, serta fungsi kuadratnya menjadi
y = (5/3) x2 + (4/3) x + 1
Sebagai catatan kita juga dapat menggunakan metode eliminasi dalam menentukan nilai a, b, dan c. Anda bisa membaca mengenai metode ini dalam artikel Memilih Metode Yang Paling Cepat Dalam Menyelesaikan SPLDV. Serta jika nantinya anda menemukan persamaan linear tiga variabel mungkin artikel Menentukan Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dapat membantu anda memahami bagaimana menyelesaikannya. Semoga bermanfaat.
