Untuk mengetahui posisi titik atau garis terhadap lingkaran kita perlu mengetahui gambarnya. Namun dapatkah kita menentukan posisi titik maupun garis tanpa mengetahui gambarnya? Pada bahasan kali ini kita akan bagaimana mengetahui posisi titik dan garis terhadap lingkaran tanpa mengetahui gambarnya terlebih dahulu. Namun sebelum mepelajari posisi titik dan garis terhadap lingkaran kita sebaiknya kita pahami terlebih dahulu materi persamaan lingkaran. Mengenai materi persamaan lingkaran silahkan kunjungi link Menentukan Persamaan Lingkaran. Jika telah memahaminya langsung saja simak materi posisi titik dan garis terhadap lingkaran berikut.
Gambar di atas menunjukkan posisi titik A terhadap lingkaran P. Gambar (1a) menunjukkan posisi titik A berada di dalam lingkaran yang berpusat P, gambar (1b) menunjukkan titik A berada pada lingkaran yang berpusat di P, sedangkan gambar (1c) menunjukkan titik A berada di luar lingkaran yang berpusat di P.
Namun yang menjadi pertanyaan, bagaimanakah menentukan posisi suatu titik terhadap lingkaran tanpa mengetahui gambarnya? Tanpa mengetahui gambarnya dahulu kita sebenarnya dapat mengetahui posisi titik misalkan titik A (x1, y1) terhadap lingkaran yang berpusat di P(a, b), yaitu dengan memperhatikan hubungan antara panjang jari-jari lingkaran r dengan jarak pusat terhadap titik yaitu PA. Jika PA < r maka, titik A berada dalam lingkaran, jika PA = r maka, titik A terletak pada lingkaran, dan jika PA > r maka titik A berada di luar lingkaran. Untuk menentukan jarak PA kita dapat menggunakan teorema Pythagoras yaitu,
PA = (x1 – a)2 + (y1 – b)2
Dengan demikian diperoleh bahwa
Jika titik A terletak di dalam lingkaran berlaku
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C < 0
Jika titik A terletak pada lingkaran berlaku
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0
Jika titik A terletak di luar lingkaran berlaku
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C > 0
Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut
Contoh:
1. Tentukan posisi titik A(3, 1) terhadap lingkaran yang persamaannya x2 + y2 = 16
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran x2 + y2 = 16, pusatnya di (0, 0) dan r2 = 16. Untuk menentukkan posisi titik A kita bisa substitusikan nilai x1 = 3 dan y1 = 1 sehingga didapat
x2 + y2 = 32 + 12
= 9 + 1
= 10
karena 10 < 16 maka titik A(3,1) terletak di dalam lingkaran yang persamaannya x2 + y2 = 16
2. Tentukanlah posisi titik B(-5, 1) terhadap lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
Penyelesaian:
Dari soal diketahui B(-5, 1) dengan demikian x1 = -5 dan y1 = 1 selanjutnya kita substitusikan dan diperoleh
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = (-5)2 + 12 – 4.(-5) + 6.1 -12
= 25 + 1 + 20 + 6 - 12
= 40
Karena 40 > 0, maka titik B(-5, 1) terletak di luar lingkaran yang persamaannya x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
Kita dapat menentukan posisi garis terhadap lingkaran dengan mengetahui nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat yang diperoleh dari subtitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran. Misalkan persamaan garis g: y = mx + n, dan lingkara x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Perpotongan garis g dengan lingkaran adalah
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + (mx + n)2 + Ax + B (mx + n) + C = 0
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 + Ax + Bmx + Bn + C = 0
(1 + m2)x2 + (2mn + A + Bm)x + n2 + Bn + C = 0
Dari bentuk terakhir, diperoleh bentuk persamaan kuadrat. Dengan nilai diskriminan bentuk tersebut kita dapat mengetahui posisi garis g terhadap lingkaran. Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah
D = b2 – 4ac
= (2mn + A + Bm)2 – 4(1 + m2) (n2 + Bn + C)
Dengan demikian diperoleh
Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan. Garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di dua titik yang berlainan
Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama.Garis g: y = mx + n akan memotong
lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, di satu titik. Dikatakan garis g menyinggung lingkaran
Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yang berlainan. Secara geometris, garis g : y = mx + n tidak memotong atau menyinggung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Agar lebih memahaminya perhatikan contoh berikut
Contoh:
1. Tentukan posisi garis y = x + 1 terhadap lingkaran x2 + y2 = 49.
Penyelesaian:
y = x + 1 ….. (1)
x2 + y2 = 49 ……(2)
Dari persamaan (1) disubtitusikan ke persamaan (2):
x2 + y2 = 49
x2 + (x + 1)2 = 49
x2 + x2 + 2x + 1 = 49
x2 + x2 + 2x + 1 – 49 = 0
2x2 + 2x – 48 = 0
x2 + x – 48 = 0
Dari persamaan kuadrat x2 + x – 48 = 0 diperoleh nilai a = 1, b = 1 dan c = -48. Dengan demikian nilai diskriminannya adalah
D = b2 – 4ac
= 12 – 4 ⋅ 1 (–48)
= 1 + 192
= 193
Karena D > 0, maka garis x – y + 1 memotong lingkaran x2 + y2 = 25 di dua titik yang berbeda.
2. Tentukan posisi garis 2x – y + 1 = 0 terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y + 3 = 0.
Penyelesaian
2x – y + 1 = 0 --> y = 2x + 1 ……… (1)
x2 + y2 – 4x – 2y + 3 = 0 ……… (2)
Dari persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2):
x2 + y2 – 4x – 2y + 3 = 0
x2 + (2x +1)2 – 4x – 2 (2x + 1) + 3 = 0
x2 + 4x2 + 4x + 1 – 4x – 4x – 2 + 3 = 0
5x2 – 4x + 2 = 0
Dari persamaan kuadrat 5x2 – 4x + 2 = 0 diperoleh nilai a = 5, b = -4 dan c = 2. Dengan demikian nilai diskriminannya adalah
D = b2 – 4ac
= (–4)2 – 4 ⋅ 5⋅ 2
= 16 – 40
= –24
Karena D < 0, maka garis 2x – y + 1 tidak memotong maupun menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y + 2 = 0.
1. Posisi Titik Terhadap Lingkaran
Terdapat tiga kemungkinan posisi titik terhadap lingkaran, yaitu berada dalam lingkaran, pada lingkaran dan di luar lingkaran. Coba perhatikan gambar di bawah ini
Gambar di atas menunjukkan posisi titik A terhadap lingkaran P. Gambar (1a) menunjukkan posisi titik A berada di dalam lingkaran yang berpusat P, gambar (1b) menunjukkan titik A berada pada lingkaran yang berpusat di P, sedangkan gambar (1c) menunjukkan titik A berada di luar lingkaran yang berpusat di P.
Namun yang menjadi pertanyaan, bagaimanakah menentukan posisi suatu titik terhadap lingkaran tanpa mengetahui gambarnya? Tanpa mengetahui gambarnya dahulu kita sebenarnya dapat mengetahui posisi titik misalkan titik A (x1, y1) terhadap lingkaran yang berpusat di P(a, b), yaitu dengan memperhatikan hubungan antara panjang jari-jari lingkaran r dengan jarak pusat terhadap titik yaitu PA. Jika PA < r maka, titik A berada dalam lingkaran, jika PA = r maka, titik A terletak pada lingkaran, dan jika PA > r maka titik A berada di luar lingkaran. Untuk menentukan jarak PA kita dapat menggunakan teorema Pythagoras yaitu,
PA = (x1 – a)2 + (y1 – b)2
Dengan demikian diperoleh bahwa
Jika titik A terletak di dalam lingkaran berlaku
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C < 0
Jika titik A terletak pada lingkaran berlaku
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0
Jika titik A terletak di luar lingkaran berlaku
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C > 0
Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut
Contoh:
1. Tentukan posisi titik A(3, 1) terhadap lingkaran yang persamaannya x2 + y2 = 16
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran x2 + y2 = 16, pusatnya di (0, 0) dan r2 = 16. Untuk menentukkan posisi titik A kita bisa substitusikan nilai x1 = 3 dan y1 = 1 sehingga didapat
x2 + y2 = 32 + 12
= 9 + 1
= 10
karena 10 < 16 maka titik A(3,1) terletak di dalam lingkaran yang persamaannya x2 + y2 = 16
2. Tentukanlah posisi titik B(-5, 1) terhadap lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
Penyelesaian:
Dari soal diketahui B(-5, 1) dengan demikian x1 = -5 dan y1 = 1 selanjutnya kita substitusikan dan diperoleh
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = (-5)2 + 12 – 4.(-5) + 6.1 -12
= 25 + 1 + 20 + 6 - 12
= 40
Karena 40 > 0, maka titik B(-5, 1) terletak di luar lingkaran yang persamaannya x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
2. Posisi Garis Terhadap Lingkaran
Sama halnya seperti posisi titik terhadap lingkaran terdapat tiga kemungkinan posisi garis terhadap lingkaran yaitu garis memotong lingkaran di dua titik (Gambar (2a)), garis memotong lingkaran tepat pada satu titik atau menyinggung lingkaran (Gambar (2b)), serta garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran (Gambar (2c))
Kita dapat menentukan posisi garis terhadap lingkaran dengan mengetahui nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat yang diperoleh dari subtitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran. Misalkan persamaan garis g: y = mx + n, dan lingkara x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Perpotongan garis g dengan lingkaran adalah
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + (mx + n)2 + Ax + B (mx + n) + C = 0
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 + Ax + Bmx + Bn + C = 0
(1 + m2)x2 + (2mn + A + Bm)x + n2 + Bn + C = 0
Dari bentuk terakhir, diperoleh bentuk persamaan kuadrat. Dengan nilai diskriminan bentuk tersebut kita dapat mengetahui posisi garis g terhadap lingkaran. Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah
D = b2 – 4ac
= (2mn + A + Bm)2 – 4(1 + m2) (n2 + Bn + C)
Dengan demikian diperoleh
Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan. Garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di dua titik yang berlainan
Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama.Garis g: y = mx + n akan memotong
lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, di satu titik. Dikatakan garis g menyinggung lingkaran
Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yang berlainan. Secara geometris, garis g : y = mx + n tidak memotong atau menyinggung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Agar lebih memahaminya perhatikan contoh berikut
Contoh:
1. Tentukan posisi garis y = x + 1 terhadap lingkaran x2 + y2 = 49.
Penyelesaian:
y = x + 1 ….. (1)
x2 + y2 = 49 ……(2)
Dari persamaan (1) disubtitusikan ke persamaan (2):
x2 + y2 = 49
x2 + (x + 1)2 = 49
x2 + x2 + 2x + 1 = 49
x2 + x2 + 2x + 1 – 49 = 0
2x2 + 2x – 48 = 0
x2 + x – 48 = 0
Dari persamaan kuadrat x2 + x – 48 = 0 diperoleh nilai a = 1, b = 1 dan c = -48. Dengan demikian nilai diskriminannya adalah
D = b2 – 4ac
= 12 – 4 ⋅ 1 (–48)
= 1 + 192
= 193
Karena D > 0, maka garis x – y + 1 memotong lingkaran x2 + y2 = 25 di dua titik yang berbeda.
2. Tentukan posisi garis 2x – y + 1 = 0 terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y + 3 = 0.
Penyelesaian
2x – y + 1 = 0 --> y = 2x + 1 ……… (1)
x2 + y2 – 4x – 2y + 3 = 0 ……… (2)
Dari persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2):
x2 + y2 – 4x – 2y + 3 = 0
x2 + (2x +1)2 – 4x – 2 (2x + 1) + 3 = 0
x2 + 4x2 + 4x + 1 – 4x – 4x – 2 + 3 = 0
5x2 – 4x + 2 = 0
Dari persamaan kuadrat 5x2 – 4x + 2 = 0 diperoleh nilai a = 5, b = -4 dan c = 2. Dengan demikian nilai diskriminannya adalah
D = b2 – 4ac
= (–4)2 – 4 ⋅ 5⋅ 2
= 16 – 40
= –24
Karena D < 0, maka garis 2x – y + 1 tidak memotong maupun menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y + 2 = 0.
