Menentukan Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran. Bahasan kali ini adalah terkait dengan lingkaran yaitu menentukan persamaan lingkaran, baiklah langsung saja kita bahas mengenai menentukan persamaan lingkaran.

Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0, 0) dan berjari-jari r

Perhatikan gambar di bawah!

Dari gambar, terlihat bahwa lingkaran berpusat di O (0, 0) dan berjari-jari r. A(x, y) merupakan sebuah titik yang terletak pada lingkaran, dengan demikian OA merupakan jari-jari dari lingkaran atau dengan kata lain OA = r. Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapat menentukan jarak OA atau panjang jari-jari r yaitu,

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$r^{2} = x^{2} + y^{2}$

Dari bentuk terakhir tersebut kita telah menemukan persamaan lingkaran dengan pusat di O(0,0) dan berjari-jari r yaitu,
$x^{2} + y^{2} = r^{2}$
Untuk lebih memahami tentang cara menentukan persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0), pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 6!
Penyelesaian
Diketahui pusat lingkaran di O(0, 0) dan berjari-jari r = 6 maka persamaanya adalah
x² + y² = r²
x² + y²= 6²
x² + y² = 36

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, -4)!
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan soal di atas pertama kita tentukan nilai r

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$r = \sqrt{3^{2} + (-4)^{2}}$

$r = \sqrt{9 + 16}$

$r = \sqrt{25}$

Jadi, persamaan lingkran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, -4) adalah
x² + y² = r²
x² + y²= 5²
x² + y² = 25

Persamaan Lingkaran denga Pusat P(a, b) dan Berjari-jari r

Diketahui lingkaran dengan pusat P(a, b) dan melalui titik A(x, y), perhatikan gambar berikut

Dari gambar kita dapat menentukkan jari-jari lingkaran r dapat kita tentukan dengan

$r = \sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}}$

$r^{2} = (x-a)^{2} + (y-b)^{2}$

dengan demikian persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r adalah
(x – a)² + (y – b)² = r²
Berikut ini adalah contoh soal persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r

Contoh
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(2, -3) dan berjari-jari $3\sqrt{2}$
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran yang berpusat di P(2, -3) dan berjari-jari $3\sqrt{2}$
(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 2)² + (y – (-3))² = ( $3\sqrt{2}$ )²
(x – 2)² + (y + 3)² = 18

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(-2, -5) dan melalui titik B(6, 1)!
Penyelesaian:
Untuk menentukan persamaan lingkaran, sebelumnya kita tentukan terlebih dahulu jari-jarinya

$r = \sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}}$

$r = \sqrt{(6-(-2))^{2} + (1-(-5))^{2}}$

$r = \sqrt{8^{2} + 6^{2}}$

$r = \sqrt{64 + 36}$

$r = \sqrt{100}$

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di P(-2, -5) dan melalui titik B(6, 1) adalah
(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – (-2))² + (y – (-5))² = 10²
(x + 2)² + (y + 5)² = 100
Selanjutnya, dari bentuk persamaan lingkaran terakhir yaitu persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r,
(x – a)² + (y – b)² = r²
Jika diuraikan, maka diperoleh
(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2ax + a² + y² -2by + b² = r²
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0
dengan A = -2a, B = -2b dan C = a² + b² – r², maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran yaitu:
x² + y² + Ax + By + C = 0

Dalam beberapa soal kita tidak hanya diminta untuk menentukan persamaan lingkaran, tetapi juga sebaliknya yaitu menentukan pusat dan jari-jarinya. Coba perhatikan kembali bentuk umum persamaan lingkaran
x² + y² + Ax + By + C = 0
Dari persamaan di atas kita dapat menentukan pusat lingkaran yaitu (- ½ A, - ½ B) sedangkan jari-jarinya kita bisa tentukan dengan menggunakan bentuk dari C = a² + b² – r² dimana a = - ½ A dan b = - ½ b maka

$C = (-\frac{1}{2}A)^{2} + (-\frac{1}{2}B)^{2} - r^{2}$

$r^{2} = (-\frac{1}{2}A)^{2} + (-\frac{1}{2}B)^{2} - C$

$r = \sqrt{(-\frac{1}{2}A)^{2} + (-\frac{1}{2}B)^{2} - C }$

$r = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2} + \frac{1}{4}B^{2} - C }$

Dengan demikian kita dapat menentukan pusat lingkaran yang persamaanya x² + y² + Ax + By + C = 0 yaitu (- ½ A, - ½ B) dan jari-jarinya

$r = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2} + \frac{1}{4}B^{2} - C }$

Untuk lebih memahaminya, pelajarilah contoh soal berikut ini

Contoh:
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0.
Penyelesaian
Dari bentuk persamaan lingkaran
x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0
kita dapat menentukan nilai A = -4, B = 6 dan C = -3 sehingga pusatnya adalah
P(- ½ A, - ½ B)
P(- ½ (-4), - ½ 6)
P( 2, -3)
Sedangkan jari-jarinya adalah

$r = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2} + \frac{1}{4}B^{2} - C }$

$r = \sqrt{\frac{1}{4}(-4)^{2} + \frac{1}{4}6^{2} - (-3) }$

$r = \sqrt{\frac{1}{4}\cdot 16 + \frac{1}{4}\cdot 36 + 3 }$

$r = \sqrt{4 + 9 + 3 }$

$r = \sqrt{16}$

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2x² +2y² – 4x –12y = 32.
Penyelesaian:
Sebelum kita menentukan pusat dan jari-jarinya terlebih dahulu kita ubah persamaan lingkaran 2x² +2y² – 4x –12y = 52 menjadi bentuk umum persmaan lingkaran yaitu,
2x² +2y² – 4x –12y – 52 = 0
x² + y² – 2x – 6 – 26 = 0 (kedua ruas dibagi 2)
Sehingga, nilai A = -2, B = -6 dan C = -16. Kemudian kita tentukan pusatnya, yaitu
P(- ½ A, - ½ B)
P(- ½ (-2), - ½ (-6))
P( 2, 3)
Sedangkan jari-jarinya adalah