Pencerminan Terhadap Garis y = mx + c

Telah dijelaskan pada artikel sebelumya menjelaskan mengenai pencerminan terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, garis x = h, garis y = k, titik asal (0, 0), dan titik T(p, q).
[Baca : Geometri Transformasi: Refleksi]
Selanjutnya, akan dibahas mengenai pencerminan atau refleksi terhadap garis y = mx + c. Untuk memahami pencerminan atau refleksi terhadap garis y = mx + c maka sebelumnnya anda harus paham mengenai trigonometri dan persamaan garis lurus.
Perbandingan trigonometri seperti sinus (sin), cosinus (cos), dan tangen (tan) serta istilah dalam persamaan garis lurus yaitu gradien (m) akan dilibatkan dalam menentukan bayangan dari pencerminan terhadap garis y = mx + c. Serta tidak lupa, penjumlahan dan perkalian matriks. Jadi sebelum mempelajari pencerminan terhadap garis y = mx + c, sebaiknya anda ingat-ingat kembali materi-materi yang telah disebutkan tadi.

Pencerminan Terhadap Garis y = mx + c dengan m = tan$\alpha$

Nah, sekarang coba perhatikan gambar berikut!
Jika P(x, y) merupakan titik yang dicerminkan terhadap garis y = mx + c sehingga bayanganya adalah P'(x', y') dengan S adalah titik potong garis y = mx + c dengan sumbu x dan Q adalah titik potong antara garis PP' dengan garis  y = mx + c. $\alpha$ ($\angle$ QSR) adalah sudut antara garis y = mx + c dengan sumbu x dan $\theta$ ($\angle$ PSR) adalah sudut antara garis PS dengan sumbu x. Karena P' adalah bayangan dari pencerminan P terhadap garis y = mx + c maka sudut antara SP' ($\angle$ P'SR') dengan sumbu x adalah 2$\alpha$ - $\theta$. Koordinat titik S didapat dari
Karena berpotongan dengan sumbu x, maka y = 0
0 = mx + c
mx = -c
x = $-\frac{c}{m}$
Sehingga, koordinat S adalah ($-\frac{c}{m}$, 0)

Kemudian, kita akan mencari bayangan dari P(x, y) yaitu P'(x', y') dengan memanfaatkan segitiga-segitiga yang terbentuk dari titik pada gambar di atas. Yang perlu dipahami adalah segitiga PSP' adalah segitiga sama kaki dengan panjang SP = SP' (karena sifat pencerminan)
Dari segitiga PSR diperoleh
cos $\theta$ = $\frac{SR}{SP}$
SR = SP cos $\theta$
x + $\frac{c}{m}$ = SP cos $\theta$

sin $\theta$ = $\frac{PR}{SP}$
PR = SP sin $\theta$
y = SP sin $\theta$

Dari dua persamaan di atas juga diperoleh bahwa
Karena SP = SP', maka
x + $\frac{c}{m}$ = SP' cos $\theta$
y = SP' sin $\theta$

Berikutnya, kita akan menggunakan segitiga R'SP', dari segitiga ini diperoleh
cos (2$\alpha$ - $\theta$) = $\frac{SR'}{SP'}$
SR' = SP' cos (2$\alpha$ - $\theta$)
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos (2$\alpha$ - $\theta$)
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos 2$\alpha$ cos $\theta$ + SP' sin 2$\alpha$ sin $\theta$
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos $\theta$ cos 2$\alpha$  + SP' sin $\theta$ sin 2$\alpha$
x' + $\frac{c}{m}$ = (x + $\frac{c}{m}$) cos 2$\alpha$  + y sin 2$\alpha$
x' + $\frac{c}{m}$ = x cos 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ cos 2$\alpha$  + y sin 2$\alpha$
x' = x cos 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ cos 2$\alpha$  + y sin 2$\alpha$ - $\frac{c}{m}$
x' = x cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$  + $\frac{c}{m}$ (cos 2$\alpha$ - 1)

sin (2$\alpha$ - $\theta$) = $\frac{P'R}{SP'}$
PR' = SP' sin (2$\alpha$ - $\theta$)
y' = SP' sin 2$\alpha$ cos $\theta$ - SP' cos 2$\alpha$ sin $\theta$
y' = SP' cos $\theta$ sin 2$\alpha$  - SP' sin $\theta$ cos 2$\alpha$
y' = (x + $\frac{c}{m}$) sin 2$\alpha$  - y cos 2$\alpha$
y' = x sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ sin 2$\alpha$  - y cos 2$\alpha$

Jadi, diperoleh koordinat dari P'(x', y') dengan
x' = x cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$  + $\frac{c}{m}$ (cos 2$\alpha$ - 1)
y' = x sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ sin 2$\alpha$  - y cos 2$\alpha$

Dari nilai x' dan y' di atas, persamaan matriks yang bersesuaian dengan nilai tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\y'

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
 cos 2\alpha&sin2\alpha \\
 sin 2\alpha& -cos 2\alpha
\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}
x\\y

\end{pmatrix}$ + $\frac{c}{m}\begin{pmatrix}
 cos 2\alpha - 1\\sin2\alpha

\end{pmatrix}$

Nah, demikianlah tadi pembuktian atau cara menentukan bayangan pencerminan terhadap garis y = mx + c, dengan gradien atau m = tan$\alpha$. Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut!

Contoh
Tentukan bayangan dari pencerminan titik A(-8, 10) terhadap garis y = xtan15$^{o}$!
Penyelesaian
y = xtan15$^{o}$
m = tan15$^{o}$ = 2 - $\sqrt{3}$
$\alpha $ = 30$^{o}$
c = 0
sin 2$\alpha$ = sin 30 = $\frac{1}{2}$
cos 2$\alpha$ = cos 30 = $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
A(-8, 10) maka x = -8 dan y = 10

$\begin{pmatrix}
x'\\y'

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
 cos 2\alpha&sin2\alpha \\
 sin 2\alpha& -cos 2\alpha
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
x\\y

\end{pmatrix}$  + $\frac{c}{m}\begin{pmatrix}
 cos 2\alpha - 1\\sin2\alpha

\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
 \frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2} \\
 \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\sqrt{3}
\end{pmatrix} $$\begin{pmatrix}
-8\\10

\end{pmatrix}$ +$ \frac{0}{2 - \sqrt{3}}\begin{pmatrix}
 \frac{1}{2}\sqrt{3} - 1\\sin2\alpha

\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-4\sqrt{3}+5\\-4-5\sqrt{3}

\end{pmatrix}$ +$ 0$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-4\sqrt{3}+5\\-4-5\sqrt{3}

\end{pmatrix}$

Pencerminan Terhadap Garis y = mx + c

Untuk menentukan bayangan dari pencerminan terhadap garis y = mx + c, kita dapat memanfaatkan koordinat perpotongan garis y = mx + c dengan garis yang terbentuk antara titik yang dicerminkan dengan bayangannya. Karena sifat pencerminan maka kedua garis tersebut saling berpotongan tegak lurus. Coba perhatikan gambar berikut
Perhatikan bahwa jika Q merupakan titik potong garis y = mx + c dengan PP', karena Q merupakan titik tengah dari PP' atau PQ = P'Q maka koordinat Q dapat ditentukan dengan
Q = $(\frac{x + x'}{2}$, $\frac{y + y'}{2})$
Karena Q merupakan titik yang dilalui y = mx + c, maka apabila Q disubstitusikan kedalam persamaan garis y = mx + c akan memenuhi
$\frac{y + y'}{2}$ = m $(\frac{x + x'}{2})$ + c
y + y' = m(x + x') + 2c ........................(1)
Garis y = mx + c tegak lurus dengan garis PP', dimana gradien y = mx + c  adalah m sedangkan gradien PP' adalah $\frac{x - x'}{y - y'}$ maka
m $\times$ $\frac{y - y'}{x - x'}$ = -1
y - y' = $\frac{-1(x - x')}{m}$
y' = y - $\frac{-1(x - x')}{m}$
y' = y - $\frac{x' - x}{m}$  ........................(2)
Substitusi (2) ke (1)
y + y - $\frac{x' - x}{m}$  = m(x + x') + 2c
2y - $\frac{x' - x}{m}$  = m(x + x') + 2c
2my - (x' - x) = m$^{2}$(x + x') + 2mc
2my - x' + x = m$^{2}$x + m$^{2}$x' + 2mc
2my + x - m$^{2}$x - 2mc = m$^{2}$x' + x'
2my - 2mc + x -  m$^{2}$x = (m$^{2}$ + 1)x'
2m(y - c) + x(1 - m$^{2}$) = (m$^{2}$ + 1)x'
x' = $\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2})}{m^{2} + 1}$
atau
x' = $\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$

Kemudian substitusikan x' ke (2)
y' = y - $\frac{\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2})}{m^{2} + 1} - x}{m}$
y' = y - $\frac{\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2} + 1)}{m^{2} + 1}}{m}$
y' = y - $\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2}+ 1)}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{ym(m^{2} + 1) - (2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2}+ 1))}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(y(m^{2} + 1) - 2(y - c)) - x + m^{2}x + m^{2}x + x}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(m^{2}y + y - 2y + 2c) + 2m^{2}x}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(m^{2}y - y + 2c + 2mx)}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m^{2}y - y + 2c + 2mx}{m^{2} + 1}$
y' = $\frac{2mx + y(m^{2} - 1) + 2c }{m^{2} + 1}$
atau
y' = $\frac{2mx - y(1 - m^{2}) + 2c }{m^{2} + 1}$
Jadi, bayangan dari P(x, y) atau koordinat dari P'adalah
(x', y') = $(\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$, $\frac{2mx - y(1 - m^{2}) + 2c }{m^{2} + 1})$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut
Contoh 2
Tentukan bayangan dari titik B(0, 8) dari pencerminan terhadap y = 2x + 3!
Penyelesaian
B(0, 8) maka x = 0 dan y = 8
y = 2x + 3 maka m = 2 dan c = 3
x' = $\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$
x' = $\frac{0(1 - 2^{2}) + 2(2)(8 - 3)}{2^{2} + 1}$
x' = $\frac{0 + 20}{4 + 1}$
x' = 4

y' = $\frac{2mx + y(m^{2} - 1) + 2c }{m^{2} + 1}$
y' = $\frac{2(2)(0) + 8(2^{2} - 1) + 2(3) }{2^{2} + 1}$
y' = $\frac{0+ 24 + 6 }{4 + 1}$
y' = 6

Jadi, bayangan dari B adalah (4, 6)

Nah, demikianlah tadi mengenai penurunan rumus pencerminan terhadap garis y = mx + c. Semoga bermanfaat.