Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Kuadrat dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat

Selain sistem persamaan linear baik itu sistem persamaan linear dua variabel maupun sistem persamaan linear tiga variabel dikenal juga sistem persamaan yang lain yaitu sistem persamaan  linear kuadrat dan sistem persamaan kuadrat kuadrat. Sistem persamaan linear kuadrat maksudnya adalah suatu sistem persamaan yang terdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat. Sedangkan sistem persamaan kuadrat kuadrat maksudnya adalah suatu sistem persamaan yang memuat dua persamaan kuadrat. Lantas bagaimana menyelesaikannya? Caranya cukup mudah yaitu dengan menggunakan tehnik substitusi. Selain itu, kita juga bisa menentukan penyelesaiannya dengan menggambar grafik dari masing-masing persamaan. Titik potong dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem persamaan merupakan penyelesaiannya. Tapi, yang kita bahas kali ini hanyalah dengan cara substitusi.

Dari hasil substitusi tadi biasanya kita akan memperoleh persamaan kuadrat baru. Nah dengan menentukan penyelesaian persamaan kuadrat baru inilah kita akan mendapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tadi. Himpunan penyelesaiannya berupa himpunan pasangan berurutan. Nah, untuk lebih jelasnya kita akan membahas  satu persatu cara menyelesaikan dua sistem persamaan ini.

Sistem Persamaan Linear Kuadrat

Secara umum, bentuk dari sistem persamaan ini memuat sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat. Atau dapat dinyatakan sebagai berikut
y = ax + b
y = px² + qx + r
dengan a, b, p, q, r, x, dan y adalah bilangan real dengan p ¹ 0

Apabila kita substitusikan y = px² + qx + r ke y = ax + b  maka diperoleh
px² + qx + r = ax + b
px² + qx + r - ax - b = 0
px² + qx - ax + r - b = 0
px² + (q - a)x + (r - b) = 0
Bentuk terakhir (px² + (q - a)x + (r - b) = 0) merupakan bentuk persamaan kuadrat, dengan diskriminan (D) = (q - a)² - 4p(r - b)

Dari nilai D atau diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi tadi, kita akan dapatkan tiga kemungkinan himpunan penyelesaiannya yaitu:

1. Jika D > 0, maka sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian.
2. Jika D = 0, maka sistem persamaan hanya mempunyai satu penyelesaian
3. Jika D < 0, maka sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian atau himpunan kosong ({ })

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
y = x² - 4x + 3
y = x - 3

Penyelesaian
y = x² - 4x + 3
y = x - 3
Substitusi y = x² - 4x + 3 ke y = x - 3 maka
x² - 4x + 3 = x - 3
x² - 4x + 3 - x + 3 = 0
x² - 5x + 6 = 0
(x - 3)(x - 2) = 0
x - 3 = 0 atau x - 2 = 0
x = 3                   x = 2
Kemudian substitusikan nilai x ke persamaan y = x - 3
x = 3 --> y = 3 - 3 = 0
x = 2 --> y = 2 - 3 = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0), (2, -1)}

Contoh 2
Diketahui sistem persamaan
y = x² + px - 3
y = x - 4
Tentukan nilai p agar sistem persamaan di atas hanya mempunya satu penyelesaian saja!

Penyelesaian
y = x² + px - 3
y = x - 4
Substitusi y = x² + px - 3 ke y = x - 4 maka,
x² + px - 3 = x - 4
x² + px - 3 - x + 4 = 0
x² + px - x + 1 = 0
x² + (p - 1)x + 1 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas adalah nol (D = 0) maka,
(p - 1)² - 4(1)(1) = 0
p² - 2p + 1 - 4 = 0
p² - 2p - 3 = 0
(p + 1)(p - 3) = 0
p + 1 = 0 atau p - 3 = 0
p = -1                  p = 3
Jadi, nilai p agar sistem persamaannya memiliki satu penyelesaian adalah p = -1 atau p = 3

Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat

Bentuk umum sistem persamaan ini dapat dinyatakan sebagai berikut
y = ax² + bx + c
y = px² + qx + r
a, b, c, p, q, r bilangan real dengan a ¹ 0 dan p ¹ 0

Jika substitusikan persamaan kuadrat y = px² + qx + r ke persamaan kuadrat y = ax² + bx + c maka diperoleh
ax² + bx + c = px² + qx + r
ax² + bx + c - px² - qx - r = 0
ax² - px² + bx - qx + c -  r = 0
(a - p)x² + (b - q)x + (c -  r) = 0

Bentuk terakhir dari persamaan kuadrat hasil substitusi ((a - p)x² + (b - q)x + (c -  r) = 0) merupakan persamaan kuadrat dengan (a - p) ¹ 0. Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut adalah
D = (b - q)² - 4(a - p)(c - r) = 0

Dari nilai diskriminan ini kita juga dapat menyimpulkan mengenai himpunan pnyelesaianya yaitu

1. Jika D > 0, maka sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian.
2. Jika D = 0, maka sistem persamaan hanya mempunyai satu penyelesaian
3. Jika D < 0, maka sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian atau himpunan kosong ({ })

Selain itu, nilai a, b, c, p, q, dan r juga mempengaruhi penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat kuadrat yang dinyatakan tiga kemungkinan

1. Jika a = p dan b ¹ q maka sistem persamaan mempunyai satu persamaan
2. Jika a = p, b = q, dan c ¹ r maka sistem persamaan  tidak mempunyai penyelesaian
3. Jika a = p, b = q, dan c = r maka sistem persamaan mempunyai penyelesaian tak berhingga

Untuk lebih jelasnya mengenai cara menentukan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat perhatikan contoh berikut

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
y = x² + 4x - 7
y = 9 - x²

Penyelesaian
y = x² + 4x - 7
y = 9 - x²
Substitusi persamaan kuadrat y = x² + 4x - 7 ke persamaan kuadrat y = 9 - x² maka,
x² + 4x - 7 = 9 - x2
x² + 4x - 7 - 9 + x2 = 0
2x² + 4x -16 = 0
x² + 2x - 8 = 0                               (kedua ruas dibagi 2)
(x + 4)(x - 2) = 0
x + 4 = 0 atau x - 2 = 0
x = -4                   x = 2
Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan dalam hal ini digunakan y = 9 - x²
x = -4 --> y = 9 - (-4)² = 9 - 16 = -7
x = 2 --> y = 9 - 2² = 9 - 4 = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-4, -7), (2, 5)}

Contoh 4
Tentukan nilai a agar sistem persamaan y = ax² + 2x - 7 dan y = 3x² - 4x + 8, himpunan penyelesaianya adalah himpunan kosong ({ }).

Penyelesaian
y = ax² + 2x - 7
y = 3x² - 4x + 8
Substitusi y = ax² + 2x - 7 ke y = 3x² - 4x + 8 maka,
ax² + 2x - 7 = 3x² - 4x + 8
ax² + 2x - 7 - 3x² + 4x - 8 = 0
ax² - 3x² + 6x - 15 = 0
(a - 3)x² + 6x - 15 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas harus kurang dari nol (D < 0) maka
6² - 4(a - 3)(-15) < 0
36 + 60a - 180 < 0
60a - 144 < 0
60a < 144
a < 144/60
a < 12/5
Jadi, nilai a agar penyelesaian sistem persamaannya himpunan kosong adalah a < 12/5

Nah, sekian dari saya mengenai menyelesaikan sistem persamaan linear kuadrat dan sistem persamaan kuadrat kuadrat. Semoga bermanfaat