Integral Tak Tentu

Dalam kehidupan sehari-hari tentu kita pernah melakukan kegiatan yang bersifat kebalikan. Misalnya aktivitas melepas pakaian merupakan kebalikan dari aktivitas mengenakan pakaian atau melepas sepatu yang kita lakukan setelah sepatu kita pasang dan kita kembalikan sepatu tersebut pada tempatnya. Dalam matematika kita sering pula menemukan dua operasi yang dapat dikatakan operasi kebalikan atau yang sering disebut invers. Ada banyak pasangan operasi balikan dalam matematika diantaranya penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan pengakaran, serta masih banyak lainnya.

Pada bahasan kali ini, kita akan membahas mengenai pasangan operasi balikan dari turunan yaitu integral atau dikenal juga dengan istilah anti turunan. Untuk lebih memahami definisi anti turunan, perhatikan contoh berikut.

Contoh:
Tentukan anti turunan dari fungsi f(x) = 6x²
Penyelesaian:
Suatu fungsi F yang memenuhi F'(x) = 6x² berlaku untuk semua x Î R. Dengan mendiferensialkan F(x) = 2x³ kita memperoleh F'(x) = f(x) = 6x². Dengan demikian, dengan mendiferensialkan F, didapat fungsi turunanya yaitu f, begitu pula sebaliknya dengan operasi anti turunan, jika diketahui f maka dapat diketahui F.

Dari contoh di atas, dapat dirumuskan sebagai berikut:
Suatu fungsi F dikatakan sebagai anti turunan dari fungsi f apabila F'(x) = f(x) untuk setiap x dalam domain dari F.

Namun ada pula yang harus diperhatikan dalam operasi anti turunan yaitu konstanta hasil dari turunan. Dalam melakukan operasi diferensial terhadap konstanta maka hasilnya adalah nol (0), maka setiap bentuk F(x) + C dengan C sembarang konstanta, juga merupakan anti turunan dari f(x). Hasil pengintegralan f(x) dengan bentuk F(x) + C dinamakan integral sembarang atau dikenal pula dengan integral tak tentu, yang dapat ditulis sebagai berikut:

$\int f(x) dx = F(x) + C$ atau $\int F'(x) dx = F(x) + C$

Dalam menentukkan integral suatu fungsi kita dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
$\int ax^{n} dx = \frac{a}{n + 1}x^{n + 1} + C$ dengan n bilangan rasional dan n ¹ 1

Untuk lebih memahami mengenai integral perhatikan contoh berikut

Contoh:
1. Tentukan integral dari bentuk $\int 12x^{2} dx$
Penyelesaian:

$\int 12x^{2} dx = \frac{12}{2 + 1}x^{2 + 1} + C$

= $4x^{3} + C$

2. Selesaikan integral dari $\int -6x dx$
Penyelesaian:

$\int -6x dx = \frac{-6}{1 + 1}x^{1 + 1} + C$

$= -3x^{2} + C$

Sifat - sifat Integral Tak Tentu

Berapa sifat integral tak tentu adalah sebagai berikut
1. $\int a dx = ax + C$ , dengan a adalah konstanta
2. $\int af(x) dx = a\int f(x) dx$ , a adalah konstanta
3. $\int (f(x)+g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$
4. $\int (f(x)-g(x)) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx$
Berikut ini contoh penggunaan sifat-sifat integral tentu

Contoh:

1. Tentukan integral dari $\int (2x - 3) dx$

Penyelesaian:
$\int (2x - 3) dx = \int 2x dx - \int 3 dx$

$= x^{3} - 3x + C$

2. Tentukan integral dari $\int (x + 1)^{2} dx$
Penyelesaian
$\int (x + 1)^{2} dx = \int (x^{2} + 2x + 1) dx$

$= \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} + x + C$

Dalam beberapa kasus soal kita juga diminta untuk menentukan nilai C yang merupakan hasil integral tak tentu. Konstanta C dapat ditentukan nilainya asalkan nilai variabel x dan F(x) dari $\int f'(x)$ dx telah diketahui. Nilai C diperoleh dengan mensubstitusi kedua nilai variabel yang bersesuaian ke dalam hasil pengintegralan. Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut:

Contoh:
Diketahui f'(x) = 2x + 1 dan f(3) = 6. Tentukan fungsi f(x)
Penyelesaian:
$f(x)=\int f'(x)$

$=\int (2x+1)dx$

$=x^{2} + x + C$

f(3) = 6
3² + 3 + C = 6
9 + 3 + C = 6
12 + C = 6
C = 6 - 12
C = -12